1960 AMC 12 Problema 39

Question

Para satisfacer la ecuación

\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},

a

y

b

deben ser:

To satisfy the equation

\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},

a

and

b

must be:

ambos racionales

both rational

ambos reales, pero no racionales

both real but not rational

ambos no reales

both not real

uno real y otro no real

one real, one not real

uno real y otro no real, o ambos no reales

one real, one not real or both not real

Respuesta: E

Conceptos:número complejo cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Después de observar que los denominadores deben ser no nulos, sea

t=\frac{b}{a}

Let

t=\frac{b}{a}

after noting that the denominators must be nonzero

Pista grande:

La cuadrática resultante

t^2+t+1=0

tiene discriminante negativo

The resulting quadratic

t^2+t+1=0

has negative discriminant

Solución:

Los denominadores exigen

a\ne0

y

a+b\ne0.

Al tomar

t=\frac{b}{a}

y multiplicar en cruz se obtiene

(1+t)^2=t,

o bien

t^2+t+1=0.

Su discriminante es

-3,

así que

t

no es real. Por tanto,

a

y

b

no pueden ser ambos reales. Según la escala compleja no nula elegida para

a,

uno puede ser real y el otro no real, o ambos pueden ser no reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The denominators require

a\ne0

and

a+b\ne0.

Setting

t=\frac{b}{a}

and cross-multiplying gives

(1+t)^2=t,

or

t^2+t+1=0.

Its discriminant is

-3,

so

t

is not real. Therefore

a

and

b

cannot both be real. Depending on the nonzero complex scale chosen for

a,

one can be real and the other nonreal, or both can be nonreal.

Thus, the correct answer is E.