1960 AMC 12 第 39 题

Question

要满足方程

\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b}\text{，}

a

和

b

必须：

To satisfy the equation

\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},

a

and

b

must be:

都是有理数

both rational

都是实数但不是有理数

both real but not rational

都不是实数

both not real

一个是实数，另一个不是实数

one real, one not real

一个是实数而另一个不是，或者两者都不是实数

one real, one not real or both not real

答案：E

知识点：复数二次方程

难度评级：1730

小提示：

注意分母必须非零，再令

t=\frac{b}{a}

Let

t=\frac{b}{a}

after noting that the denominators must be nonzero

大提示：

所得二次方程

t^2+t+1=0

的判别式为负

The resulting quadratic

t^2+t+1=0

has negative discriminant

解答：

由分母可知

a\ne0

且

a+b\ne0

。令

t=\frac{b}{a}

并交叉相乘，得到

(1+t)^2=t\text{，}

即

t^2+t+1=0

。其判别式为

-3

，所以

t

不是实数。因此

a

和

b

不可能都是实数。根据为

a

选择的非零复数倍数，可以一个为实数而另一个为非实数，也可以两者都是非实数。

因此，正确答案是 E。

The denominators require

a\ne0

and

a+b\ne0.

Setting

t=\frac{b}{a}

and cross-multiplying gives

(1+t)^2=t,

or

t^2+t+1=0.

Its discriminant is

-3,

so

t

is not real. Therefore

a

and

b

cannot both be real. Depending on the nonzero complex scale chosen for

a,

one can be real and the other nonreal, or both can be nonreal.

Thus, the correct answer is E.

1960 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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