1950 AMC 12 Problema 39

Question

Dada la serie

2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots

y las siguientes cinco afirmaciones:

(1)

la suma aumenta sin límite.

(2)

la suma disminuye sin límite.

(3)

la diferencia entre cualquier término de la sucesión y cero puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.

(4)

la diferencia entre la suma y

4

puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.

(5)

la suma se aproxima a un límite.

De estas afirmaciones, las correctas son:

Given the series

2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots

and the following five statements:

(1)

the sum increases without limit.

(2)

the sum decreases without limit.

(3)

the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.

(4)

the difference between the sum and

4

can be made less than any positive quantity no matter how small.

(5)

the sum approaches a limit.

Of these statements, the correct ones are:

Solo

3

y

4

Only

3

and

4

Solo

5

Only

5

Solo

2

y

4

Only

2

and

4

Solo

2,

3,

y

4

Only

2,

3,

and

4

Solo

4

y

5

Only

4

and

5

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria cálculo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Distingue los términos de la sucesión de sus sumas parciales

Distinguish the terms of the sequence from its partial sums

Pista grande:

Una serie geométrica con primer término

2

y razón

\frac{1}{2}

tiene sumas parciales que se aproximan a

4

A geometric series with first term

2

and ratio

\frac{1}{2}

has partial sums approaching

4

Solución:

Las sumas parciales aumentan hacia

\frac{2}{1-\frac12}=4,

por lo que no aumentan ni disminuyen sin límite. Esto hace falsas las afirmaciones

1

y

2

, mientras que las afirmaciones

4

y

5

son verdaderas.

En la afirmación

3,

«cualquier término» se refiere a un término ya elegido, cuya distancia a cero es fija y no puede reducirse; lo que sí puede hacerse es elegir un término suficientemente avanzado que esté por debajo de cualquier cota positiva dada. Por lo tanto, la afirmación

3

, tal como está redactada, es falsa.

Por consiguiente, solo las afirmaciones

4

y

5

son correctas, así que la respuesta correcta es E.

The partial sums increase toward

\frac{2}{1-\frac12}=4,

so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements

1

and

2

false, while statements

4

and

5

are true.

In statement

3,

“any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement

3

, as worded, is false.

Therefore only statements

4

and

5

are correct, so the correct answer is E.

1950 AMC 12 Problema 39

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años