Soluciones del 1972 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Las longitudes, en pulgadas, de los tres lados de cada uno de cuatro triángulos

\mathrm{I},

\mathrm{II},

\mathrm{III}

y

\mathrm{IV}

son las siguientes:

\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}

De estos cuatro triángulos, los únicos que son rectángulos son:

The lengths in inches of the three sides of each of four triangles

\mathrm{I},

\mathrm{II},

\mathrm{III},

and

\mathrm{IV}

are as follows:

\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}

Of these four given triangles, the only right triangles are:

\mathrm{I}

y

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

\mathrm{I}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

\mathrm{I}

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I}

and

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

y

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{IV}

Conceptos:Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Compara el cuadrado del lado más largo de cada triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados

Compare the square of each longest side with the sum of the squares of the other two sides

Pista grande:

Elimina las fracciones de las longitudes de los triángulos

\mathrm{II}

y

\mathrm{IV}

antes de comparar

Clear the halves in triangles

\mathrm{II}

and

\mathrm{IV}

before comparing

Solución:

Para los triángulos

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III},

las igualdades pertinentes son

\begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2. \end{aligned}

Para

\mathrm{IV},

\begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4}. \end{aligned}

Estos valores no son iguales. Por lo tanto, exactamente

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

son triángulos rectángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For triangles

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III},

the relevant equalities are

\begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2. \end{aligned}

For

\mathrm{IV},

\begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4}. \end{aligned}

These values are unequal. Thus precisely

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III}

are right triangles.

Therefore, the correct answer is D.

2.

Si un comerciante pudiera adquirir sus productos por un

8\%

menos sin cambiar el precio de venta, su ganancia, calculada sobre el costo, aumentaría de la tasa actual de

x\%

a

(x+10)\%

. La tasa actual es:

If a dealer could get his goods for

8\%

less while keeping his selling price fixed, his profit, based on cost, would be increased to

(x+10)\%

from his present profit of

x\%,

which is:

12\%

15\%

30\%

50\%

75\%

Conceptos:porcentaje dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Sea

C

el costo actual y expresa el mismo precio de venta de dos maneras

Let the present cost be

C

and express the same selling price in two ways

Pista grande:

El costo reducido es

0.92C

y su tasa de ganancia es

(x+10)\%

The reduced cost is

0.92C

and its profit rate is

(x+10)\%

Solución:

El precio de venta fijo da

\begin{aligned} 1+0.01x&=0.92\\ &\quad+0.0092(x+10). \end{aligned}

Al simplificar se obtiene

1+0.01x=1.012+0.0092x,

así que

0.0008x=0.012

y

x=15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The fixed selling price gives

\begin{aligned} 1+0.01x&=0.92\\ &\quad+0.0092(x+10). \end{aligned}

Simplifying yields

1+0.01x=1.012+0.0092x,

so

0.0008x=0.012

and

x=15.

Therefore, the correct answer is B.

3.

Si

x=\dfrac{1-i\sqrt3}{2},

donde

i=\sqrt{-1},

entonces

\dfrac{1}{x^2-x}

es igual a:

If

x=\dfrac{1-i\sqrt3}{2},

where

i=\sqrt{-1},

then

\dfrac{1}{x^2-x}

is equal to:

-2

-1

1+i\sqrt3

1

2

Conceptos:número complejo cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Calcula

x^2-x

antes de tomar el recíproco

Compute

x^2-x

before taking the reciprocal

Pista grande:

El número

x

satisface

x^2-x+1=0

The number

x

satisfies

x^2-x+1=0

Solución:

Directamente,

\begin{aligned} x^2-x &=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^2\\ &\quad-\frac{1-i\sqrt3}{2}\\ &=-1. \end{aligned}

Por lo tanto, su recíproco también es

-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Directly,

\begin{aligned} x^2-x &=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^2\\ &\quad-\frac{1-i\sqrt3}{2}\\ &=-1. \end{aligned}

Its reciprocal is therefore also

-1.

Therefore, the correct answer is B.

4.

Si

X

es un subconjunto de

\{1,2,3,4,5\},

el número de soluciones de

\{1,2\}\subseteq X\subseteq\{1,2,3,4,5\}

es:

The number of solutions to

\{1,2\}\subseteq X\subseteq\{1,2,3,4,5\},

where

X

is a subset of

\{1,2,3,4,5\},

is:

2

4

6

8

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:subconjuntos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Los elementos

1

y

2

son obligatorios

The elements

1

and

2

are forced

Pista grande:

Cada uno de

3,4,5

puede incluirse u omitirse de manera independiente

Each of

3,4,5

may independently be included or omitted

Solución:

Todo

X

válido contiene

1,2,

mientras que cada elemento de

3,4,5

puede elegirse de manera independiente. Por consiguiente, hay

2^3=8

conjuntos posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every valid

X

contains

1,2,

while each of

3,4,5

may be chosen independently. Hence there are

2^3=8

possible sets.

Therefore, the correct answer is D.

5.

Entre

2^{\frac{1}{2}},

3^{\frac{1}{3}},

8^{\frac{1}{8}},

9^{\frac{1}{9}},

los que tienen el mayor y el segundo mayor valor, respectivamente, son:

From among

2^{\frac{1}{2}},

3^{\frac{1}{3}},

8^{\frac{1}{8}},

9^{\frac{1}{9}},

those which have the greatest and the next to the greatest values, in that order, are:

3^{\frac{1}{3}},

2^{\frac{1}{2}}

3^{\frac{1}{3}},

8^{\frac{1}{8}}

3^{\frac{1}{3}},

9^{\frac{1}{9}}

8^{\frac{1}{8}},

9^{\frac{1}{9}}

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:exponente desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Compara dos raíces elevando ambos números positivos a una potencia común

Compare two roots by raising both positive numbers to a common power

Pista grande:

Primero compara

3^{\frac{1}{3}}

con

2^{\frac{1}{2}}

, y luego compara

2^{\frac{1}{2}}

con cada número restante

First compare

3^{\frac{1}{3}}

with

2^{\frac{1}{2}}

, then compare

2^{\frac{1}{2}}

with each remaining number

Solución:

Al elevar a potencias comunes convenientes se obtiene

(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6,

(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8,

y

(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}.

Así,

3^{\frac{1}{3}}

es el mayor y

2^{\frac{1}{2}}

es el siguiente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Raising to convenient common powers gives

(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6,

(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8,

and

(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}.

Thus

3^{\frac{1}{3}}

is greatest and

2^{\frac{1}{2}}

is next.

Therefore, the correct answer is A.

6.

Si

3^{2x}+9=10(3^x),

entonces el valor de

x^2+1

es:

If

3^{2x}+9=10(3^x),

then the value of

x^2+1

is:

solo

1

1

only

solo

5

5

only

1

o

5

1

or

5

2

10

Conceptos:exponente cuadrática sustitución factorización

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Haz

u=3^x

Set

u=3^x

Pista grande:

Factoriza

u^2-10u+9

y convierte cada raíz positiva de nuevo en un valor de

x

Factor

u^2-10u+9

and convert each positive root back to

x

Solución:

Sea

u=3^x.

Entonces

\begin{aligned} u^2-10u+9&=(u-1)(u-9)\\ &=0. \end{aligned}

Así,

x=0

o

x=2,

por lo que

x^2+1

es

1

o

5,

respectivamente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

u=3^x.

Then

\begin{aligned} u^2-10u+9&=(u-1)(u-9)\\ &=0. \end{aligned}

Thus

x=0

or

x=2,

so

x^2+1

is respectively

1

or

5.

Therefore, the correct answer is C.

7.

Si

yz:zx:xy=1:2:3,

entonces

\dfrac{x}{yz}:\dfrac{y}{zx}

es igual a:

If

yz:zx:xy=1:2:3,

then

\dfrac{x}{yz}:\dfrac{y}{zx}

is equal to:

3{:}2

1{:}2

1{:}4

2{:}1

4{:}1

Conceptos:razón y proporción fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Simplifica el cociente de las dos fracciones de la razón pedida

Simplify the quotient of the two fractions in the requested ratio

Pista grande:

A partir de

yz:zx=1:2

, obtén

y:x=1:2

From

yz:zx=1:2

, obtain

y:x=1:2

Solución:

La razón pedida tiene como cociente

\frac{\frac{x}{yz}}{\frac{y}{zx}}=\frac{x^2}{y^2}.

Además,

yz:zx=y:x=1:2,

así que

x:y=2:1.

Por lo tanto,

x^2:y^2=4:1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The requested ratio has quotient

\frac{\frac{x}{yz}}{\frac{y}{zx}}=\frac{x^2}{y^2}.

Also

yz:zx=y:x=1:2,

so

x:y=2:1.

Therefore

x^2:y^2=4:1.

Therefore, the correct answer is E.

8.

Si

\lvert x-\log y\rvert=x+\log y,

donde

x

y

\log y

son reales, entonces:

If

\lvert x-\log y\rvert=x+\log y,

where

x

and

\log y

are real, then:

x=0

y=1

x=0

y

y=1

x=0

and

y=1

x(y-1)=0

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:valor absoluto logaritmo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Separa los casos

x-\log y\ge0

y

x-\log y\lt0

Separate the cases

x-\log y\ge0

and

x-\log y\lt0

Pista grande:

Un caso obliga a que

\log y=0

, mientras que el otro obliga a que

x=0

One case forces

\log y=0

, while the other forces

x=0

Solución:

Si

x-\log y\ge0,

la ecuación da

\log y=0,

y por tanto

y=1.

Si

x-\log y\lt0,

da

x=0.

Así, toda solución satisface

x=0

o

y=1,

lo cual se expresa mediante

x(y-1)=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If

x-\log y\ge0,

the equation gives

\log y=0,

hence

y=1.

If

x-\log y\lt0,

it gives

x=0.

Therefore every solution satisfies either

x=0

or

y=1,

which is expressed by

x(y-1)=0.

Therefore, the correct answer is D.

9.

Ann y Sue compraron cajas de papelería idénticas. Ann usó la suya para escribir cartas de

1

hoja y Sue usó la suya para escribir cartas de

3

hojas. Ann usó todos los sobres y le sobraron

50

hojas de papel, mientras que Sue usó todas las hojas y le sobraron

50

sobres. El número de hojas de papel que había en cada caja era:

Ann and Sue bought identical boxes of stationery. Ann used hers to write

1

-sheet letters and Sue used hers to write

3

-sheet letters. Ann used all the envelopes and had

50

sheets of paper left, while Sue used all of the sheets of paper and had

50

envelopes left. The number of sheets of paper in each box was:

150

125

120

100

80

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Sean

S

y

E

las cantidades de hojas y sobres de una caja

Let

S

and

E

be the numbers of sheets and envelopes in a box

Pista grande:

La situación de Ann da

S-E=50

, mientras que la de Sue da

E-\frac{S}{3}=50

Ann gives

S-E=50

, while Sue gives

E-\frac{S}{3}=50

Solución:

Sean

S

y

E

las cantidades de hojas y sobres por caja. Las dos situaciones dan

S-E=50

y

E-\frac S3=50.

Al sumar se obtiene

\frac{2S}{3}=100,

así que

S=150.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

S

and

E

denote sheets and envelopes per box. The two accounts give

S-E=50

and

E-\frac S3=50.

Adding yields

\frac{2S}{3}=100,

so

S=150.

Therefore, the correct answer is A.

10.

Para

x

real, la desigualdad

1\le\lvert x-2\rvert\le7

equivale a:

For

x

real, the inequality

1\le\lvert x-2\rvert\le7

is equivalent to:

x\le1

o

x\ge3

x\le1

or

x\ge3

1\le x\le3

-5\le x\le9

-5\le x\le1

o

3\le x\le9

-5\le x\le1

or

3\le x\le9

-6\le x\le1

o

3\le x\le10

-6\le x\le1

or

3\le x\le10

Conceptos:valor absoluto desigualdad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

La cota superior sitúa a

x

a no más de

7

unidades de

2

The upper bound places

x

within

7

units of

2

Pista grande:

La cota inferior elimina el intervalo abierto de puntos que están a menos de

1

unidad de

2

The lower bound removes the open interval of points less than

1

unit from

2

Solución:

La condición

\lvert x-2\rvert\le7

da

-5\le x\le9.

La condición

\lvert x-2\rvert\ge1

da

x\le1

o

x\ge3.

Su intersección es

[-5,1]\cup[3,9].

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The condition

\lvert x-2\rvert\le7

gives

-5\le x\le9.

The condition

\lvert x-2\rvert\ge1

gives

x\le1

or

x\ge3.

Their intersection is

[-5,1]\cup[3,9].

Therefore, the correct answer is D.

11.

Los valores de

y

para los cuales el siguiente par de ecuaciones

\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}

puede tener una solución real común son:

The value(s) of

y

for which the following pair of equations

\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}

may have a real common solution, are:

solo

4

4

only

-7,

4

0,

4

ningún

y

no

y

todo

y

all

y

Conceptos:sistema de ecuaciones cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Elimina

x^2

entre las dos ecuaciones

Eliminate

x^2

between the equations

Pista grande:

Después de hallar los dos valores candidatos de

y

, comprueba si el

x^2

correspondiente es no negativo

After finding the two candidate

y

-values, check whether the corresponding

x^2

is nonnegative

Solución:

De la segunda ecuación,

x^2=3y-12.

Al sustituir en la primera se obtiene

\begin{aligned} y^2+3y-28&=(y-4)(y+7)\\ &=0. \end{aligned}

Si

y=4,

entonces

x=0.

Si

y=-7,

entonces

x^2=-33,

por lo que no existe un

x

real. Así, solo

y=4

es posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From the second equation,

x^2=3y-12.

Substitution into the first gives

\begin{aligned} y^2+3y-28&=(y-4)(y+7)\\ &=0. \end{aligned}

If

y=4,

then

x=0.

If

y=-7,

then

x^2=-33,

so no real

x

exists. Thus only

y=4

is possible.

Therefore, the correct answer is A.

12.

El valor numérico del volumen de un cubo en pies cúbicos es igual al valor numérico de su área superficial en pulgadas cuadradas. La longitud de la arista, expresada en pies, es:

The number of cubic feet in the volume of a cube is the same as the number of square inches in its surface area. The length of the edge expressed as a number of feet is:

6

864

1728

6\times1728

2304

Conceptos:geometría del cubo área de superficie volumen conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Si la arista mide

f

pies, su longitud en pulgadas es

12f

If the edge is

f

feet, its length in inches is

12f

Pista grande:

Iguala los valores numéricos

f^3

y

6(12f)^2

Equate the numerical values

f^3

and

6(12f)^2

Solución:

Sea

f

pies la longitud de la arista, es decir,

12f

pulgadas. La igualdad numérica indicada es

f^3=6(12f)^2.

Como

f\gt0,

al dividir entre

f^2

se obtiene

f=6\cdot144=864.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the edge length be

f

feet, or

12f

inches. The stated numerical equality is

f^3=6(12f)^2.

Since

f\gt0,

division by

f^2

gives

f=6\cdot144=864.

Therefore, the correct answer is B.

13.

En el cuadrado

ABCD

, cuyos lados miden

12

pulgadas, se traza el segmento

AE

, donde

E

es el punto de

DC

que está a

5

pulgadas de

D.

Se traza la mediatriz de

AE

, la cual corta a

AE,

AD,

y

BC

en los puntos

M,

P,

y

Q,

respectivamente. La razón entre los segmentos

PM

y

MQ

es:

Inside square

ABCD

with sides of length

12

inches, segment

AE

is drawn, where

E

is the point on

DC

which is

5

inches from

D.

The perpendicular bisector of

AE

is drawn and intersects

AE,

AD,

and

BC

at points

M,

P,

and

Q,

respectively. The ratio of segment

PM

to

MQ

is:

5{:}12

5{:}13

5{:}19

1{:}4

5{:}21

Conceptos:cuadrado (geometría)punto medio mediatriz semejanza

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Traza por

M

una recta paralela a

AB

Draw through

M

a line parallel to

AB

Pista grande:

Las distancias horizontales de

M

a

AD

y

BC

son

\frac{5}{2}

y

\frac{19}{2}

The horizontal distances from

M

to

AD

and

BC

are

\frac{5}{2}

and

\frac{19}{2}

Solución:

Como

M

es el punto medio de

AE,

su distancia horizontal a

AD

es

\frac{5}{2}.

Su distancia a

BC

es

12-\frac52=\frac{19}{2}.

Los dos triángulos rectángulos que la horizontal por

M

determina sobre la recta

PQ

son semejantes, de modo que sus hipotenusas están en la razón de estos catetos horizontales:

PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because

M

is the midpoint of

AE,

its horizontal distance from

AD

is

\frac{5}{2}.

Its distance from

BC

is

12-\frac52=\frac{19}{2}.

The two right triangles cut from line

PQ

by the horizontal through

M

are similar, so their hypotenuses are in the ratio of these horizontal legs:

PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.

Therefore, the correct answer is C.

14.

Un triángulo tiene ángulos de

30^\circ

y

45^\circ.

Si el lado opuesto al ángulo de

45^\circ

mide

8,

entonces el lado opuesto al ángulo de

30^\circ

mide:

A triangle has angles of

30^\circ

and

45^\circ.

If the side opposite the

45^\circ

angle has length

8,

then the side opposite the

30^\circ

angle has length:

4

4\sqrt2

4\sqrt3

4\sqrt6

6

Conceptos:ley de los senos trigonometría

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Relaciona los dos lados mediante la ley de los senos

Relate the two sides with the Law of Sines

Pista grande:

Usa

\sin30^\circ=\frac{1}{2}

y

\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}

Use

\sin30^\circ=\frac{1}{2}

and

\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}

Solución:

Si

s

es el lado opuesto a

30^\circ,

la ley de los senos da

\frac{s}{\sin30^\circ}=\frac8{\sin45^\circ}.

Por lo tanto,

s=8\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If

s

is the side opposite

30^\circ,

the Law of Sines gives

\frac{s}{\sin30^\circ}=\frac8{\sin45^\circ}.

Therefore

s=8\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2.

Therefore, the correct answer is B.

15.

Un contratista estimó que uno de sus dos albañiles tardaría

9

horas en construir cierta pared y el otro

10

horas. Sin embargo, sabía por experiencia que, cuando trabajaban juntos, su producción conjunta disminuía en

10

ladrillos por hora. Como tenía prisa, puso a ambos en el trabajo y comprobó que tardaron exactamente

5

horas en construir la pared. El número de ladrillos de la pared era:

A contractor estimated that one of his two bricklayers would take

9

hours to build a certain wall and the other

10

hours. However, he knew from experience that when they worked together, their combined output fell by

10

bricks per hour. Being in a hurry, he put both men on the job and found that it took exactly

5

hours to build the wall. The number of bricks in the wall was:

500

550

900

950

960

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Sea

N

el número de ladrillos de la pared

Let

N

be the number of bricks in the wall

Pista grande:

Su tasa horaria conjunta real es

\frac{N}{9}+\frac{N}{10}-10

Their actual combined hourly rate is

\frac{N}{9}+\frac{N}{10}-10

Solución:

Si la pared contiene

N

ladrillos, las tasas individuales son

\frac{N}{9}

y

\frac{N}{10}.

Por lo tanto,

5\left(\frac N9+\frac N{10}-10\right)=N.

Al multiplicar por

18

y simplificar se obtiene

19N-900=18N,

de donde

N=900.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the wall contains

N

bricks, the individual rates are

\frac{N}{9}

and

\frac{N}{10}.

Thus

5\left(\frac N9+\frac N{10}-10\right)=N.

Multiplying by

18

and simplifying gives

19N-900=18N,

hence

N=900.

Therefore, the correct answer is C.

16.

Se pueden insertar dos números positivos entre

3

y

9

de modo que los tres primeros estén en progresión geométrica y los tres últimos en progresión aritmética. La suma de esos dos números positivos es:

There are two positive numbers that may be inserted between

3

and

9

such that the first three are in geometric progression while the last three are in arithmetic progression. The sum of those two positive numbers is:

13\frac12

11\frac14

10\frac12

10

9\frac12

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética sistema de ecuaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Llama

x

y

y

a los números insertados, en ese orden

Call the inserted numbers

x

and

y,

in that order

Pista grande:

Usa

x^2=3y

y

2y=x+9

Use

x^2=3y

and

2y=x+9

Solución:

Las condiciones de las progresiones dan

x^2=3y

y

2y=x+9.

Al eliminar

y

se obtiene

\begin{aligned} 2x^2-3x-27&=(2x-9)(x+3)\\ &=0. \end{aligned}

La positividad da

x=\frac{9}{2},

y luego

y=\frac{27}{4}.

Su suma es

\frac92+\frac{27}{4}=\frac{45}{4}=11\frac14.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The progression conditions give

x^2=3y

and

2y=x+9.

Eliminating

y

yields

\begin{aligned} 2x^2-3x-27&=(2x-9)(x+3)\\ &=0. \end{aligned}

Positivity gives

x=\frac{9}{2},

and then

y=\frac{27}{4}.

Their sum is

\frac92+\frac{27}{4}=\frac{45}{4}=11\frac14.

Therefore, the correct answer is B.

17.

Se corta un cordel en dos por un punto elegido al azar. La probabilidad de que el trozo más largo sea al menos

x

veces el más corto es:

A piece of string is cut in two at a point selected at random. The probability that the longer piece is at least

x

times as large as the shorter piece is:

\dfrac12

\dfrac2x

\dfrac1{x+1}

\dfrac1x

\dfrac2{x+1}

Conceptos:probabilidad geométrica razón y proporción desigualdad

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Normaliza la longitud del cordel a

1

y sitúa el corte a

t

unidades de un extremo

Normalize the string length to

1

and let the cut be

t

units from one end

Pista grande:

Cerca de cualquiera de los extremos, resuelve

1-t\ge xt

Near either endpoint, solve

1-t\ge xt

Solución:

Toma el cordel de longitud

1.

Cerca de un extremo, la condición es

1-t\ge xt,

por lo que

t\le\frac{1}{x+1}.

En el otro extremo aparece un intervalo igual. La longitud total de ambos, y por tanto la probabilidad, es

\frac2{x+1}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take the string to have length

1.

Near one endpoint, the condition is

1-t\ge xt,

so

t\le\frac{1}{x+1}.

The same interval occurs at the other endpoint. Their total length, hence the probability, is

\frac2{x+1}.

Therefore, the correct answer is E.

18.

Sea

ABCD

un trapecio cuya base

AB

mide el doble que la base

DC,

y sea

E

el punto de intersección de las diagonales. Si la diagonal

AC

mide

11,

entonces el segmento

EC

mide:

Let

ABCD

be a trapezoid with the measure of base

AB

twice that of base

DC,

and let

E

be the point of intersection of the diagonals. If the measure of diagonal

AC

is

11,

then that of segment

EC

is equal to:

3\frac23

3\frac34

4

3\frac12

3

Conceptos:trapecio semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Los triángulos

ABE

y

CDE

son semejantes

Triangles

ABE

and

CDE

are similar

Pista grande:

La razón de las bases

AB:DC=2:1

también es igual a

AE:EC

The base ratio

AB:DC=2:1

also equals

AE:EC

Solución:

Como

AB\parallel DC,

los triángulos

ABE

y

CDE

son semejantes. Por ello,

AE:EC=AB:DC=2:1.

Así,

AC=AE+EC=3EC=11,

de modo que

EC=\frac{11}{3}=3\frac23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

AB\parallel DC,

triangles

ABE

and

CDE

are similar. Hence

AE:EC=AB:DC=2:1.

Thus

AC=AE+EC=3EC=11,

so

EC=\frac{11}{3}=3\frac23.

Therefore, the correct answer is A.

19.

La suma de los primeros

n

términos de la sucesión

\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}

expresada en función de

n

es:

The sum of the first

n

terms of the sequence

\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}

in terms of

n

is:

2^n

2^n-n

2^{n+1}-n

2^{n+1}-n-2

n\cdot2^n

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

La suma entre paréntesis que ocupa el lugar

k

es

2^k-1

The

k

-th parenthesized sum is

2^k-1

Pista grande:

Suma

2^1-1,

2^2-1,

\ldots,

y

2^n-1

Sum

2^1-1,

2^2-1,

\ldots,

and

2^n-1

Solución:

El término de lugar

k

es la suma geométrica

2^k-1.

Por tanto, la suma pedida es

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The

k

-th term is the geometric sum

2^k-1.

Therefore the desired total is

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

20.

Si

\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},

donde

a\gt b\gt0

y

0^\circ\lt x\lt90^\circ,

entonces

\sin x

es igual a:

If

\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},

where

a\gt b\gt0

and

0^\circ\lt x\lt90^\circ,

then

\sin x

is equal to:

\dfrac ab

\dfrac ba

\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2a}

\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2ab}

\dfrac{2ab}{a^2+b^2}

Conceptos:identidad trigonométrica triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Representa la tangente como la razón de catetos

2ab

y

a^2-b^2

Model the tangent as the ratio of legs

2ab

and

a^2-b^2

Pista grande:

La hipotenusa correspondiente se simplifica porque

(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2

The corresponding hypotenuse simplifies because

(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2

Solución:

Usa un triángulo rectángulo con cateto opuesto

2ab

y cateto adyacente

a^2-b^2.

Su hipotenusa es

\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}

Por tanto,

\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Use a right triangle with opposite leg

2ab

and adjacent leg

a^2-b^2.

Its hypotenuse is

\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}

Hence

\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.

Therefore, the correct answer is E.

21.

Si la suma de las medidas en grados de los ángulos

A,

B,

C,

D,

E,

y

F

de la figura es

90n,

entonces

n

es igual a:

If the sum of the measures in degrees of angles

A,

B,

C,

D,

E,

and

F

in the figure is

90n,

then

n

is equal to:

2

3

4

5

6

Conceptos:suma de ángulos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Nombra las dos intersecciones de

AD

con

BF

y

CE

Name the two intersections of

AD

with

BF

and

CE

Pista grande:

Combina las sumas de ángulos del cuadrilátero central y de los dos triángulos unidos a él

Combine the angle sums of the central quadrilateral and the two triangles attached to it

Solución:

Sean

P=AD\cap BF

y

Q=AD\cap CE.

En el cuadrilátero

EFPQ,

E+F+\angle P+\angle Q=360^\circ.

Los triángulos

BPD

y

AQC

dan

B+D=\angle P

y

A+C=\angle Q,

al usar los ángulos suplementarios en

P

y

Q.

Al sumar se obtiene

\begin{gathered} A+B+C+D+E+F\\ =360^\circ=90^\circ\cdot4. \end{gathered}

Así,

n=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

P=AD\cap BF

and

Q=AD\cap CE.

In quadrilateral

EFPQ,

E+F+\angle P+\angle Q=360^\circ.

The triangles

BPD

and

AQC

give

B+D=\angle P

and

A+C=\angle Q,

using the supplementary angles at

P

and

Q.

Adding yields

\begin{gathered} A+B+C+D+E+F\\ =360^\circ=90^\circ\cdot4. \end{gathered}

Thus

n=4.

Therefore, the correct answer is C.

22.

Si

a\pm bi

(b\ne0)

son raíces imaginarias de la ecuación

x^3+qx+r=0,

donde

a,

b,

q,

y

r

son números reales, entonces

q

en función de

a

y

b

es:

If

a\pm bi

(b\ne0)

are imaginary roots of the equation

x^3+qx+r=0,

where

a,

b,

q,

and

r

are real numbers, then

q

in terms of

a

and

b

is:

a^2+b^2

2a^2-b^2

b^2-a^2

b^2-2a^2

b^2-3a^2

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

El conjugado

a-bi

es otra raíz

The conjugate

a-bi

is another root

Pista grande:

Como el coeficiente de

x^2

es cero, determina la tercera raíz y luego usa la suma de los productos por pares

Because the

x^2

coefficient is zero, determine the third root and then use the sum of pairwise products

Solución:

La raíz conjugada es

a-bi.

Como la suma de las tres raíces es

0,

la tercera raíz es

-2a.

Por las fórmulas de Vieta,

\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The conjugate root is

a-bi.

Since the sum of the three roots is

0,

the third root is

-2a.

By Vieta’s formulas,

\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

23.

El radio del círculo más pequeño que contiene la figura simétrica mostrada, compuesta por

3

cuadrados unitarios, es:

The radius of the smallest circle containing the symmetric figure composed of

3

unit squares shown is:

\sqrt2

\sqrt{1.25}

1.25

\dfrac{5\sqrt{17}}{16}

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:círculo geometría analítica simetría optimización

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Por simetría, sitúa el centro del círculo sobre el eje vertical de la figura

By symmetry, place the circle’s center on the vertical axis of the figure

Pista grande:

Iguala sus distancias a un vértice exterior inferior y a uno exterior superior

Equate its distances to a lower outer corner and an upper outer corner

Solución:

Sitúa el punto medio del lado inferior en

O=(0,0).

Un vértice exterior inferior es

A=(1,0),

y uno exterior superior es

B=(\frac{1}{2},2).

Por simetría, el centro del círculo envolvente mínimo es

P=(0,k).

En la posición óptima, ambos tipos de vértice exterior están en el círculo, de modo que

1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2.

Esto da

k=\frac{13}{16}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the midpoint of the bottom edge at

O=(0,0).

A lower outer corner is

A=(1,0),

and an upper outer corner is

B=(\frac{1}{2},2).

By symmetry the center of the smallest enclosing circle is

P=(0,k).

At the optimum both types of outer corner lie on the circle, so

1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2.

This gives

k=\frac{13}{16}.

Hence

\begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

24.

Un hombre recorrió cierta distancia a velocidad constante. Si hubiera avanzado

\frac12

milla por hora más rápido, habría recorrido la distancia en cuatro quintos del tiempo; si hubiera avanzado

\frac12

milla por hora más despacio, habría tardado

2\frac12

horas más. La distancia que caminó, en millas, fue:

A man walked a certain distance at a constant rate. If he had gone

\frac12

mile per hour faster, he would have walked the distance in four-fifths of the time; if he had gone

\frac12

mile per hour slower, he would have been

2\frac12

hours longer on the road. The distance in miles he walked was:

13\frac12

15

17\frac12

20

25

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Sean

v

y

t

la velocidad y el tiempo reales

Let the actual speed and time be

v

and

t

Pista grande:

Usa primero

vt=(v+\frac{1}{2})(\frac{4t}{5})

para determinar

v

First use

vt=(v+\frac{1}{2})(\frac{4t}{5})

to determine

v

Solución:

Sean

v

y

t

la velocidad y el tiempo reales. El caso más rápido da

vt=\left(v+\frac12\right)\frac{4t}{5},

por lo que

v=2.

El caso más lento da entonces

2t=\frac32\left(t+\frac52\right),

de donde

t=\frac{15}{2}.

La distancia fue

vt=2\cdot\frac{15}{2}=15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the actual speed and time be

v

and

t.

The faster case gives

vt=\left(v+\frac12\right)\frac{4t}{5},

so

v=2.

The slower case then gives

2t=\frac32\left(t+\frac52\right),

whence

t=\frac{15}{2}.

The distance was

vt=2\cdot\frac{15}{2}=15.

Therefore, the correct answer is B.

25.

En un círculo está inscrito un cuadrilátero cuyos lados consecutivos miden

25,

39,

52,

y

60

. El diámetro de este círculo mide:

Inscribed in a circle is a quadrilateral having sides of lengths

25,

39,

52,

and

60

taken consecutively. The diameter of this circle has length:

62

63

65

66

69

Conceptos:cuadrilátero cíclico Terna pitagórica triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

Observa dos ternas pitagóricas escaladas entre las cuatro longitudes

Notice two scaled Pythagorean triples among the four side lengths

Pista grande:

El par

25,60

y el par

39,52

comparten la misma hipotenusa posible

The

25,60

pair and the

39,52

pair share the same possible hypotenuse

Solución:

Los lados consecutivos pueden rotularse

\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60. \end{gathered}

Como

25^2+60^2=65^2=39^2+52^2,

los triángulos

ABD

y

BCD

son rectángulos y tienen hipotenusa común

BD=65.

Su unión es el cuadrilátero cíclico, y la hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de su circunferencia circunscrita. Así, el diámetro es

65.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The consecutive sides may be labeled

\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60. \end{gathered}

Since

25^2+60^2=65^2=39^2+52^2,

triangles

ABD

and

BCD

are right triangles with common hypotenuse

BD=65.

Their union is the cyclic quadrilateral, and a right triangle’s hypotenuse is a diameter of its circumcircle. Thus the diameter is

65.

Therefore, the correct answer is C.

26.

En el círculo mostrado,

M

es el punto medio del arco

\overset{\frown}{CAB},

y el segmento

MP

es perpendicular a la cuerda

AB

en

P.

Si la cuerda

AC

mide

x

y el segmento

AP

mide

x+1,

entonces el segmento

PB

mide:

In the circle shown,

M

is the midpoint of arc

\overset{\frown}{CAB},

and segment

MP

is perpendicular to chord

AB

at

P.

If the measure of chord

AC

is

x

and that of segment

AP

is

x+1,

then segment

PB

has measure equal to:

3x+2

3x+1

2x+3

2x+2

2x+1

Conceptos:arco cuerda rectángulo simetría

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Copia el arco

\overset{\frown}{CA}

como un arco

\overset{\frown}{MN}

que termine en un punto nuevo

N

entre

M

y

B

Copy arc

\overset{\frown}{CA}

to an arc

\overset{\frown}{MN}

ending at a new point

N

between

M

and

B

Pista grande:

Traza

NQ\perp AB

; usa los arcos iguales para identificar un rectángulo y segmentos horizontales extremos iguales

Drop

NQ\perp AB

; use equal arcs to identify a rectangle and equal horizontal end segments

Solución:

Elige

N

en el arco

\overset{\frown}{MB}

de modo que los arcos

\overset{\frown}{MN}

y

\overset{\frown}{CA}

sean iguales, y traza

NQ\perp AB.

Entonces

MN=AC=x.

Los arcos iguales restantes

\overset{\frown}{AM}

y

\overset{\frown}{NB}

dan proyecciones correspondientes iguales sobre la cuerda, por lo que

QB=AP=x+1.

Además,

MNPQ

es un rectángulo, así que

PQ=MN=x.

Por lo tanto,

\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Choose

N

on arc

\overset{\frown}{MB}

so that arcs

\overset{\frown}{MN}

and

\overset{\frown}{CA}

are equal, and drop

NQ\perp AB.

Then

MN=AC=x.

The remaining equal arcs

\overset{\frown}{AM}

and

\overset{\frown}{NB}

give equal corresponding chord projections, so

QB=AP=x+1.

Also

MNPQ

is a rectangle, hence

PQ=MN=x.

Therefore

\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

27.

Si el área de

\triangle ABC

es

64

unidades cuadradas y la media geométrica (media proporcional) entre los lados

AB

y

AC

es

12

pulgadas, entonces

\sin A

es igual a:

If the area of

\triangle ABC

is

64

square units and the geometric mean (mean proportional) between sides

AB

and

AC

is

12

inches, then

\sin A

is equal to:

\dfrac{\sqrt3}{2}

\dfrac35

\dfrac45

\dfrac89

\dfrac{15}{17}

Conceptos:área del triángulo trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

La condición de la media geométrica determina el producto

AB\cdot AC

The geometric-mean condition determines the product

AB\cdot AC

Pista grande:

Usa

[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A

Use

[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A

Solución:

La condición de la media geométrica dice

AB\cdot AC=12^2=144.

Por lo tanto,

\begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A, \end{aligned}

así que

\sin A=\frac{8}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The geometric-mean condition says

AB\cdot AC=12^2=144.

Therefore

\begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A, \end{aligned}

so

\sin A=\frac{8}{9}.

Therefore, the correct answer is D.

28.

Se coloca un disco circular de diámetro

D

sobre un tablero de

8\times8

y ancho

D

, de modo que sus centros coincidan. El número de casillas completamente cubiertas por el disco es:

A circular disc with diameter

D

is placed on an

8\times8

checkerboard with width

D

so that the centers coincide. The number of checkerboard squares which are completely covered by the disc is:

48

44

40

36

32

Conceptos:círculo fórmula de la distancia conteo básico

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Ninguna casilla que toque el borde exterior puede quedar completamente cubierta

No square touching the outside border can be completely covered

Pista grande:

Entre las

6\times6

casillas interiores, examina por separado las cuatro casillas de las esquinas

Among the

6\times6

interior squares, test the four corner squares separately

Solución:

Las

28

casillas del borde no están completamente cubiertas. Considera la cuadrícula interior restante de

6\times6

y mide las distancias en unidades del lado de una casilla, de modo que el radio del disco es

4.

Las cuatro esquinas exteriores de esta cuadrícula interior están a distancia

\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\gt4

del centro, por lo que esas cuatro casillas de esquina no están completamente cubiertas. Todas las demás casillas interiores quedan dentro del disco: su esquina más alejada posible está a una distancia máxima de

\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\lt4.

Por consiguiente,

36-4=32

casillas quedan completamente cubiertas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The

28

border squares are not fully covered. Consider the remaining

6\times6

interior grid and measure distances in square side lengths, so the disc has radius

4.

The four outer corners of this interior grid are at distance

\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\gt4

from the center, so those four corner squares are not fully covered. Every other interior square lies within the disc: its farthest possible corner is at distance at most

\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\lt4.

Hence

36-4=32

squares are completely covered.

Therefore, the correct answer is E.

29.

Si

f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)

para

-1\lt x\lt1,

entonces

f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)

, expresado en función de

f(x)

, es:

If

f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)

for

-1\lt x\lt1,

then

f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)

in terms of

f(x)

is:

-f(x)

2f(x)

3f(x)

[f(x)]^2

[f(x)]^3-f(x)

Conceptos:logaritmo función factorización sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sustituye la expresión racional en

\frac{1+u}{1-u}

Substitute the rational expression into

\frac{1+u}{1-u}

Pista grande:

Su numerador y su denominador se factorizan como

(1+x)^3

y

(1-x)^3

Its numerator and denominator factor as

(1+x)^3

and

(1-x)^3

Solución:

Sea

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.

Entonces

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Por consiguiente,

f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.

Then

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Consequently

f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).

Therefore, the correct answer is C.

30.

Una hoja rectangular de papel de

6

pulgadas de ancho se dobla como en el diagrama, de modo que una esquina toque el lado opuesto. La longitud en pulgadas del pliegue

L

, en función del ángulo

\theta

, es:

A rectangular piece of paper

6

inches wide is folded as in the diagram so that one corner touches the opposite side. The length in inches of the crease

L

in terms of angle

\theta

is:

3\sec^2\theta\csc\theta

6\sin\theta\sec\theta

3\sec\theta\csc\theta

6\sec\theta\csc^2\theta

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:plegado de papel trigonometría triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Sea

h

la altura de la hoja rectangular y usa las longitudes iguales creadas por el pliegue

Let

h

be the height of the rectangular sheet and use the equal lengths created by the fold

Pista grande:

El diagrama da

\frac{6}{h}=\sin(2\theta)

y

\frac{L}{h}=\sec\theta

The diagram gives

\frac{6}{h}=\sin(2\theta)

and

\frac{L}{h}=\sec\theta

Solución:

Sea

h

la altura de la hoja. Los triángulos rectángulos congruentes creados al reflejar la esquina doblada respecto del pliegue dan

\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,

así que

h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}.

También dan

\frac{L}{h}=\sec\theta.

Por lo tanto,

\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

h

be the sheet’s height. The congruent right triangles created by reflecting the folded corner across the crease give

\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,

so

h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}.

They also give

\frac{L}{h}=\sec\theta.

Hence

\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

31.

Al dividir el número

2^{1000}

entre

13,

el residuo es:

When the number

2^{1000}

is divided by

13,

the remainder in the division is:

1

2

3

7

11

Conceptos:aritmética modular exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Usa

2^6\equiv-1\pmod{13}

Use

2^6\equiv-1\pmod{13}

Pista grande:

Escribe

1000=6\cdot166+4

Write

1000=6\cdot166+4

Solución:

Como

2^6=64\equiv-1\pmod{13},

\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

2^6=64\equiv-1\pmod{13},

\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

32.

Las cuerdas

AB

y

CD

del círculo mostrado se cortan perpendicularmente en

E

. Si los segmentos

AE,

EB,

y

ED

miden

2,

6,

y

3

, respectivamente, entonces el diámetro del círculo mide:

Chords

AB

and

CD

in the circle shown intersect at

E

and are perpendicular to each other. If segments

AE,

EB,

and

ED

have measures

2,

6,

and

3

respectively, then the length of the diameter of the circle is:

4\sqrt5

\sqrt{65}

2\sqrt{17}

3\sqrt7

6\sqrt2

Conceptos:potencia de un punto geometría analítica fórmula de la distancia círculo

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Usa primero

AE\cdot EB=CE\cdot ED

First use

AE\cdot EB=CE\cdot ED

Pista grande:

Sitúa

E

en el origen; el centro está en la intersección de las mediatrices de las dos cuerdas

Place

E

at the origin; the center is at the intersection of the two chord perpendicular bisectors

Solución:

El teorema de las cuerdas que se cortan da

2\cdot6=CE\cdot3,

por lo que

CE=4.

Sitúa

E=(0,0),

A=(-2,0),

B=(6,0),

C=(0,4),

y

D=(0,-3).

Las mediatrices de

AB

y

CD

se cortan en

O=\left(2,\frac12\right).

Así,

r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},

y el diámetro es

2r=\sqrt{65}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The intersecting-chords theorem gives

2\cdot6=CE\cdot3,

so

CE=4.

Put

E=(0,0),

A=(-2,0),

B=(6,0),

C=(0,4),

and

D=(0,-3).

The perpendicular bisectors of

AB

and

CD

meet at

O=\left(2,\frac12\right).

Thus

r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},

and the diameter is

2r=\sqrt{65}.

Therefore, the correct answer is B.

33.

El valor mínimo del cociente entre un número decimal de tres cifras distintas y no nulas y la suma de sus cifras es:

The minimum value of the quotient of a (base ten) number of three different nonzero digits divided by the sum of its digits is:

9.7

10.1

10.5

10.9

20.5

Conceptos:dígitos optimización desigualdad

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

Sean

H,

T,

y

U

las cifras de centenas, decenas y unidades, y considera qué posición debe contener la cifra mayor

Let the hundreds, tens, and units digits be

H,

T,

and

U,

and consider which position should contain the largest digit

Pista grande:

En el mínimo,

U=9

; luego maximiza

T

y minimiza

H

con cifras distintas y no nulas

At a minimum

U=9

; then maximize

T

and minimize

H

subject to distinct nonzero digits

Solución:

Sea

Q

el cociente. Entonces

Q=1+\frac{99H+9T}{H+T+U}.

Intercambiar

U

con una cifra mayor situada en alguna posición anterior reduce el cociente, así que la cifra de unidades debe ser la mayor. Aumentar esa cifra de unidades reduce un cociente mayor que

1,

por lo que

U=9.

Entonces

\frac{T+11H}{T+H+9} =1+\frac{10H-9}{T+H+9}.

Esto se minimiza tomando la mayor cifra disponible

T=8

y después la menor

H=1.

El número es

189,

y

\frac{189}{1+8+9}=\frac{189}{18}=10.5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

Q

denote the quotient. Then

Q=1+\frac{99H+9T}{H+T+U}.

Interchanging

U

with a larger digit in either earlier position decreases the quotient, so the units digit must be the largest. Increasing that units digit lowers a quotient greater than

1,

so

U=9.

Then

\frac{T+11H}{T+H+9} =1+\frac{10H-9}{T+H+9}.

This is minimized by taking the largest available

T=8

and then the smallest

H=1.

The number is

189,

and

\frac{189}{1+8+9}=\frac{189}{18}=10.5.

Therefore, the correct answer is C.

34.

Tres veces la edad de Dick más la edad de Tom es igual al doble de la edad de Harry. El doble del cubo de la edad de Harry es igual a tres veces el cubo de la edad de Dick más el cubo de la edad de Tom. Sus respectivas edades son coprimas dos a dos. La suma de los cuadrados de sus edades es:

Three times Dick’s age plus Tom’s age equals twice Harry’s age. Double the cube of Harry’s age is equal to three times the cube of Dick’s age added to the cube of Tom’s age. Their respective ages are relatively prime to each other. The sum of the squares of their ages is:

42

46

122

290

326

Conceptos:edades suma y diferencia de cubos Ecuación diofántica máximo común divisor

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Sean

D,

T,

y

H

las edades y reescribe la ecuación lineal como

2(H-D)=D+T

Let the ages be

D,

T,

and

H,

and rewrite the linear equation as

2(H-D)=D+T

Pista grande:

Factoriza ambas diferencias de cubos después de reescribir la ecuación cúbica

Factor both differences of cubes after rewriting the cubic equation

Solución:

Las ecuaciones son

\begin{aligned} 3D+T&=2H,\\ 2H^3&=3D^3+T^3. \end{aligned}

Se reescriben como

2(H-D)=D+T

y

\begin{gathered} 2(H-D)(H^2+HD+D^2)\\ =(D+T)\\ \qquad\cdot(D^2-DT+T^2). \end{gathered}

Al cancelar los factores positivos iguales se obtiene

\begin{aligned} H^2+HD+DT-T^2&=0,\\ (H+T)(H+D-T)&=0, \end{aligned}

por lo que

T=H+D.

La ecuación lineal da entonces

H=4D,

y el hecho de que sean coprimas dos a dos obliga a

(D,H,T)=(1,4,5).

La suma pedida es

1^2+4^2+5^2=42.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equations are

\begin{aligned} 3D+T&=2H,\\ 2H^3&=3D^3+T^3. \end{aligned}

Rewrite them as

2(H-D)=D+T

and

\begin{gathered} 2(H-D)(H^2+HD+D^2)\\ =(D+T)\\ \qquad\cdot(D^2-DT+T^2). \end{gathered}

Canceling the equal positive factors gives

\begin{aligned} H^2+HD+DT-T^2&=0,\\ (H+T)(H+D-T)&=0, \end{aligned}

so

T=H+D.

The linear equation then gives

H=4D,

and pairwise relative primality forces

(D,H,T)=(1,4,5).

The requested sum is

1^2+4^2+5^2=42.

Therefore, the correct answer is A.

35.

El triángulo equilátero

ABP

, cuyo lado

AB

mide

2

pulgadas, se coloca dentro del cuadrado

AXYZ

, de lado

4

pulgadas, de modo que

B

esté sobre el lado

AX.

El triángulo gira en sentido horario primero alrededor de

B,

luego de

P,

y así sucesivamente a lo largo de los lados del cuadrado hasta que

P,

A,

y

B

regresen a sus posiciones originales. La longitud en pulgadas del camino recorrido por el vértice

P

es:

Equilateral triangle

ABP

with side

AB

of length

2

inches is placed inside square

AXYZ

with side of length

4

inches so that

B

is on side

AX.

The triangle is rotated clockwise about

B,

then

P,

and so on along the sides of the square until

P,

A,

and

B

all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex

P

is equal to:

\dfrac{20\pi}{3}

\dfrac{32\pi}{3}

12\pi

\dfrac{40\pi}{3}

15\pi

Conceptos:triángulo equilátero transformación arco simulación de procesos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Sigue la orientación después de un circuito del cuadrado de ocho pivotes

Track the orientation after one eight-pivot circuit of the square

Pista grande:

Se necesitan tres circuitos; clasifica los pivotes según si

P

queda fijo o recorre un arco de

120^\circ

o de

30^\circ

Three circuits are needed; classify the pivots according to whether

P

is fixed or moves through a

120^\circ

or

30^\circ

arc

Solución:

Un circuito del cuadrado usa

8

pivotes y cambia la orientación del triángulo en

\frac{2}{3}

de una vuelta completa. Por lo tanto, se requieren

3

circuitos, o

24

pivotes, para devolver todo el triángulo a su posición inicial. En

8

de esos pivotes la rotación es alrededor de

P,

de modo que

P

no se mueve. En los otros

16,

ocho arcos abarcan

120^\circ

y ocho abarcan

30^\circ,

todos con radio

2.

Por consiguiente, la longitud total del camino es

\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

One circuit of the square uses

8

pivots and changes the triangle’s orientation by

\frac{2}{3}

of a full turn. Therefore

3

circuits, or

24

pivots, are required to restore the entire triangle. In

8

of those pivots the rotation is about

P,

so

P

does not move. In the other

16,

eight arcs subtend

120^\circ

and eight subtend

30^\circ,

all with radius

2.

Hence the total path length is

\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.