1983 AIME 第 4 题

Question

如图所示，一个机械加工切削工具的形状是带缺口的圆。圆的半径为

\sqrt{50}

厘米，

AB

的长度为

6

厘米，

BC

的长度为

2

厘米，且角

ABC

为直角。求

B

到圆心的距离（单位为厘米）的平方。

A machine-shop cutting tool has the shape of a notched circle, as shown. The radius of the circle is

\sqrt{50}

cm, the length of

AB

is

6

cm, and that of

BC

is

2

cm. The angle

ABC

is a right angle. Find the square of the distance (in centimeters) from

B

to the center of the circle.

答案

答案：26

知识点：圆坐标几何垂直平分线

难度评级：2210

小提示：

设

B=(0,0)

、

A=(0,6)

、

C=(2,0)

Put

B=(0,0),

A=(0,6),

and

C=(2,0)

大提示：

圆心位于线段

AC

的垂直平分线上，并且与其中点相距

\sqrt{40}

The center lies on the perpendicular bisector of

AC

at distance

\sqrt{40}

from its midpoint

解答：

设

B=(0,0)

、

A=(0,6)

、

C=(2,0)

。

AC

的中点为

M=(1,3)

，且

AC=\sqrt{40}

。若

O

为圆心，则

\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40} \end{aligned}\text{。}

与

AC=(2,-6)

垂直的向量

(6,2)

的长度恰为

\sqrt{40}

。因此两个可能的圆心是

\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1) \end{aligned}\text{。}

图中的圆心位于缺口的另一侧，所以

O=(-5,1)

。因此

BO^2=(-5)^2+1^2=26

。

Put

B=(0,0),

A=(0,6),

and

C=(2,0).

The midpoint of

AC

is

M=(1,3),

and

AC=\sqrt{40}.

If

O

is the center, then

\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}

A vector perpendicular to

AC=(2,-6)

is

(6,2),

which already has length

\sqrt{40}.

Thus the two possible centers are

\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}

The pictured notched circle has its center on the side opposite the notch, so

O=(-5,1).

Therefore

BO^2=(-5)^2+1^2=26.

1983 AIME 第 4 题

答案：26

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

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