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1985 AIME 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

若正整数

a

、

b

、

c

满足

c=(a+bi)^3-107i

，其中

i^2=-1

，求

c

。

Find

c

if

a,

b,

and

c

are positive integers which satisfy

c=(a+bi)^3-107i,

where

i^2=-1.

答案

答案：198

知识点：复数丢番图方程因式分解

难度评级：2160

小提示：

展开

(a+bi)^3

，并令其虚部等于

107

Expand

(a+bi)^3

and set its imaginary part equal to

107

大提示：

所得方程说明正整数

b

是

107

的因数

The resulting equation shows that the positive integer

b

divides

107

解答：

展开并利用

c

为实数，可得

b(3a^2-b^2)=107\text{。}

由于

107

是质数，

b=1

或

107

。后一种情形要求

3a^2=11450

，这是不可能的。因此

b=1

，且

3a^2-1=107

，从而

a=6

。实部为

c=a^3-3ab^2=216-18=198\text{。}

Expanding and using that

c

is real gives

b(3a^2-b^2)=107.

Since

107

is prime,

b=1

or

107.

The latter would require

3a^2=11450,

which is impossible. Thus

b=1,

and

3a^2-1=107,

so

a=6.

The real part is

c=a^3-3ab^2=216-18=198.