1995 AIME 第 3 题

Question

一个物体从

(0,0)

出发，在坐标平面内连续移动，每一步的长度都是一。每一步都等概率地向左、向右、向上或向下。设

p

为该物体在六步以内到达

(2,2)

的概率。已知

p

可写成

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数，求

m+n

。

Starting at

(0,0),

an object moves in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Each step is left, right, up, or down, all four equally likely. Let

p

be the probability that the object reaches

(2,2)

in six or fewer steps. Given that

p

can be written in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers, find

m+n.

答案

答案：67

知识点：随机游走基本计数对立事件概率

难度评级：1850

小提示：

目标点最早只能在第

4

步或第

6

步到达

The target can first be reached only after

4

or

6

steps

大提示：

从六步后终止于目标点的路径中，减去已经在第

4

步到达目标点的路径

From the six-step paths ending at the target, subtract those that already arrived at step

4

解答：

到达

(2,2)

的四步路径有

\binom42=6

条。六步后终止于该点的路径共有

60+60=120

条：额外的一对相反方向步要么是向左、向右各一步，要么是向下、向上各一步。其中有

6\cdot4=24

条路径先在第

4

步到达目标点，再用两步返回。因此

p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}\text{。}

所以

m+n=3+64=67

。

There are

\binom42=6

four-step paths to

(2,2).

There are

60+60=120

six-step paths ending there: the extra opposite pair is either left-right or down-up. Of these,

6\cdot4=24

first reach the target at step

4

and then make a two-step return. Therefore

p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}.

Thus

m+n=3+64=67.

1995 AIME 第 3 题

答案：67

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

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