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1994 AIME 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

函数

f

满足：对每个实数

x

，都有

f(x)+f(x-1)=x^2\text{。}

若

f(19)=94

，那么

f(94)

除以

1000

的余数是多少？

The function

f

has the property that, for each real number

x,

f(x)+f(x-1)=x^2.

If

f(19)=94,

what is the remainder when

f(94)

is divided by

1000?

答案

答案：561

知识点：递推求和模运算

难度评级：1900

小提示：

先代入

x=20

求出

f(20)

First use

x=20

to find

f(20)

大提示：

通过推导从

f(x)

到

f(x-2)

的递推关系来消去交替出现的项

Eliminate alternating terms by deriving a recurrence from

f(x)

to

f(x-2)

解答：

首先，

f(20)=20^2-f(19)=306

。连续代入两步可得

\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2)\end{aligned}\text{。}

因此

\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561\end{aligned}\text{。}

所求余数为

561

。

First

f(20)=20^2-f(19)=306.

Subtracting through two steps gives

\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2).\end{aligned}

Therefore

\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561.\end{aligned}

The requested remainder is

561.