In English En español

1987 AIME 第 5 题

先试着解答 1987 AIME 第 5 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1987 AIME 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

若整数

x

和

y

满足

y^2+3x^2y^2=30x^2+517

，求

3x^2y^2

。

Find

3x^2y^2

if

x

and

y

are integers such that

y^2+3x^2y^2=30x^2+517.

答案

答案：588

知识点：因式分解丢番图方程整除性

难度评级：2070

小提示：

移项一个适当的

3x^2+1

的倍数，以构造乘积

Move a suitable multiple of

3x^2+1

to create a product

大提示：

分解

507

，并利用

3x^2+1\equiv1\pmod3

Factor

507

and use that

3x^2+1\equiv1\pmod3

解答：

整理得

(3x^2+1)(y^2-10)=507

，其中

507=3\cdot13^2

。

507

的正因数中，与

1\pmod3

同余的有

1

、

13

、

169

。若

3x^2+1=1

，则

x^2=0

，但

y^2=517

，不是完全平方数。若

3x^2+1=13

，则

x^2=4

且

y^2=49

。最后，

3x^2+1=169

给出

x^2=56

，不是完全平方数。因此

3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588

。

Rearranging gives

(3x^2+1)(y^2-10)=507,

where

507=3\cdot13^2.

The positive divisors of

507

congruent to

1\pmod3

are

1,

13,

169.

If

3x^2+1=1,

then

x^2=0

but

y^2=517,

which is not a square. If

3x^2+1=13,

then

x^2=4

and

y^2=49.

Finally,

3x^2+1=169

gives

x^2=56,

not a square. Therefore

3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.