1988 AIME 第 7 题

Question

在三角形

ABC

中，

\tan\angle CAB=\frac{22}{7}

，且从

A

作出的高将

BC

分成长度为

3

和

17

的两段。求三角形

ABC

的面积。

In triangle

ABC,

\tan\angle CAB=\frac{22}{7},

and the altitude from

A

divides

BC

into segments of length

3

and

17.

What is the area of triangle

ABC?

答案

答案：110

知识点：三角形面积三角学向量

难度评级：1870

小提示：

设高的长度为

h

，并将垂足置于原点

Let the altitude have length

h

and place its foot at the origin

大提示：

用叉积除以点积表示两条边向量夹角的正切

Use cross product over dot product to express the tangent of the angle between the two side vectors

解答：

设高为

h

。从

A

指向

BC

两端点的向量可取为

(-3,-h)

和

(17,-h)

。因此

\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}\text{。}

从而

11h^2-70h-561=0

，其正根为

h=11

。因为

BC=3+17=20

，面积为

\frac12(20)(11)=110

。

Let the altitude length be

h.

From

A,

vectors to the endpoints of

BC

may be taken as

(-3,-h)

and

(17,-h).

Therefore

\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.

Thus

11h^2-70h-561=0,

whose positive root is

h=11.

Since

BC=3+17=20,

the area is

\frac12(20)(11)=110.

1988 AIME 第 7 题

答案：110

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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