1995 AIME 第 2 题

Question

求下列方程所有正根之积的末三位数字：

\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2\text{。}

Find the last three digits of the product of the positive roots of

\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2.

答案

令

y=\log_{1995}x

，则

x=1995^y

Set

y=\log_{1995}x,

so

x=1995^y

比较

1995

的指数，再利用两个

y

值的和

Compare exponents of

1995

, then use the sum of the two values of

y

令

y=\log_{1995}x

，则

x=1995^y

。原方程化为

1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y}\text{，}

从而

(y-1)^2=\frac{1}{2}

。两个

y

值的和为

2

，所以相应两个正根的乘积为

1995^2

。由于

1995\equiv-5\pmod {1000}

，其末三位数字为

025

。所求的 AIME 答案为

25

。

Put

y=\log_{1995}x,

so

x=1995^y.

The equation becomes

1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y},

and hence

(y-1)^2=\frac{1}{2}.

The two values of

y

have sum

2,

so the product of the corresponding positive roots is

1995^2.

Since

1995\equiv-5\pmod {1000},

its last three digits are

025.

The requested AIME answer is

25.

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