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1951 AMC 12 第 42 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

42.

若

x

等于

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}\text{，}

则：

If

x

equals

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}},

then:

x=1

0\lt x\lt1

1\lt x\lt2

x

是无穷大

x

is infinite

x\gt2

，但为有限值

x\gt2

but finite

答案：C

知识点：根式递推二次方程

难度评级：1530

小提示：

第一层根号下又包含一个与

x

相同的表达式

The expression under the first radical contains another copy of

x

大提示：

解方程

x=\sqrt{1+x}

，并保留非负根

Solve

x=\sqrt{1+x}

and keep the nonnegative root

解答：

由无限重复的尾部可得

x=\sqrt{1+x}

，所以

x^2-x-1=0\text{。}

因为

x\ge0

，所以

x=\frac{1+\sqrt5}{2}

，该值严格位于

1

与

2

之间。

因此，正确答案是 C。

The repeating tail gives

x=\sqrt{1+x},

so

x^2-x-1=0.

Since

x\ge0,

x=\frac{1+\sqrt5}{2},

which lies strictly between

1

and

2.

Thus, the correct answer is C.

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