1957 AMC 12 第 42 题

Question

若

S=i^n+i^{-n}

，其中

i=\sqrt{-1}

，且

n

为整数，则

S

可能具有的不同值共有：

If

S=i^n+i^{-n},

where

i=\sqrt{-1}

and

n

is an integer, then the total number of possible distinct values for

S

is:

1

2

3

4

多于

4

more than

4

答案：C

知识点：复数单位根模运算

难度评级：1530

小提示：

i

的幂以四为周期重复

Powers of

i

repeat with period four

大提示：

对

n

模

4

的每个余数类各检查一个代表

Check one representative of each residue class of

n

modulo

4

解答：

若

n

为偶数，则

i^n

为

1

或

-1

，且等于其倒数，所以

S=2

或

-2

。若

n

为奇数，则两项按某种顺序分别为

i

与

-i

，所以

S=0

。因此，不同的值为

-2,\ 0,\ 2\text{，}

共三个。

因此，正确答案是 C。

If

n

is even,

i^n

is

1

or

-1

and equals its reciprocal, so

S=2

or

-2.

If

n

is odd, the two terms are

i

and

-i,

in some order, so

S=0.

Thus the distinct values are

-2,\ 0,\ 2,

three values.

Therefore, the correct answer is C.

1957 AMC 12 第 42 题

答案：C

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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