1954 AMC 12 第 46 题

Question

在图中，若点

A

、

B

和

C

都是切点，则

x

等于：

In the diagram, if points

A,

B,

and

C

are points of tangency, then

x

equals:

\dfrac3{16}\text{ 英寸}

\dfrac3{16}\text{ in.}

\dfrac18\text{ 英寸}

\dfrac18\text{ in.}

\dfrac1{32}\text{ 英寸}

\dfrac1{32}\text{ in.}

\dfrac3{32}\text{ 英寸}

\dfrac3{32}\text{ in.}

\dfrac1{16}\text{ 英寸}

\dfrac1{16}\text{ in.}

答案：E

知识点：相切圆角平分线特殊直角三角形

难度评级：1630

小提示：

图中标出的

\frac{3}{8}

英寸是圆的直径

The marked

\frac{3}{8}

-inch measure is the circle’s diameter

大提示：

半径为

\frac{3}{16}

时，由于

\sin30^\circ=\frac{1}{2}

，圆心位于

60^\circ

顶点上方

\frac{3}{8}

英寸处

With radius

\frac{3}{16},

the center is

\frac{3}{8}

inch above the

60^\circ

vertex because

\sin30^\circ=\frac{1}{2}

解答：

半径为

\frac{3}{16}

英寸。圆心位于角平分线上。到任一斜边的垂直半径与从顶点到圆心的线段构成一个含

30^\circ

角的直角三角形，所以圆心位于顶点上方

\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38

英寸处。因此上方切线位于顶点上方

\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}

英寸处。由于下方水平线位于顶点上方

\frac{1}{2}

英寸处，

x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ 英寸}

因此，正确答案是 E。

The radius is

\frac{3}{16}

inch. The center lies on the angle bisector. The perpendicular radius to either sloping side and the segment from the vertex to the center form a right triangle with a

30^\circ

angle, so the center is

\frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38

inch above the vertex. Hence the top tangent is

\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}

inch above the vertex. Since the ledge is

\frac{1}{2}

inch above the vertex,

x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ in.}

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 第 46 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 46 题