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1959 AMC 12 第 44 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

44.

方程

x^2+bx+c=0

的两根均为大于

1

的实数。令

s=b+c+1

。则

s

：

The roots of

x^2+bx+c=0

are both real and greater than

1.

Let

s=b+c+1.

Then

s:

可能小于零

may be less than zero

可能等于零

may be equal to zero

必大于零

must be greater than zero

必小于零

must be less than zero

必介于

-1

与

1

之间

must be between

-1

and

1

答案：C

知识点：韦达定理不等式二次方程

难度评级：1360

小提示：

设两根为

u

和

v

，并用韦达定理表示

b,c

Call the two roots

u

and

v

and express

b,c

using Vieta’s formulas

大提示：

将

1-(u+v)+uv

因式分解

Factor

1-(u+v)+uv

解答：

若两根为

u,v>1

，则

b=-(u+v)

且

c=uv

。因此

\begin{aligned} s&=1-u-v+uv\\ &=(u-1)(v-1)>0 \end{aligned}\text{。}

因此

s

必大于零，正确答案是 C。

If the roots are

u,v>1,

then

b=-(u+v)

and

c=uv.

Therefore

\begin{aligned} s&=1-u-v+uv\\ &=(u-1)(v-1)>0. \end{aligned}

Thus

s

must be greater than zero, and the correct answer is C.

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