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1959 AMC 12 第 45 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

45.

若

\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_xx^2 \end{aligned}\text{，}

则

y

等于：

If

\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_xx^2, \end{aligned}

then

y

equals:

\dfrac92

9

18

27

81

答案：B

知识点：对数裂项相消

难度评级：1280

小提示：

两次使用

(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c

Use

(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c

twice

大提示：

将整个左边化简为

\log_3y

Simplify the entire left side to

\log_3y

解答：

这些对数逐项消去：

\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_3y \end{aligned}\text{。}

又因为

\log_xx^2=2

，所以

\log_3y=2

，且

y=3^2=9

。

因此，正确答案是 B。

The logarithms telescope:

\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_3y. \end{aligned}

Also

\log_xx^2=2,

so

\log_3y=2

and

y=3^2=9.

Therefore, the correct answer is B.

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