1960 AMC 12 第 40 题

Question

给定直角三角形

ABC

，两直角边为

\overline{BC}=3

、

\overline{AC}=4

。求从

C

引向斜边的两条三等分角线中较短一条的长度：

Given right triangle

ABC

with legs

\overline{BC}=3,

\overline{AC}=4.

Find the length of the shorter angle trisector from

C

to the hypotenuse:

\dfrac{32\sqrt3-24}{13}

\dfrac{12\sqrt3-9}{13}

6\sqrt3-8

\dfrac{5\sqrt{10}}6

\dfrac{25}{12}

答案：A

知识点：坐标几何三角学直角三角形

难度评级：2000

小提示：

设

C=(0,0)

、

B=(3,0)

、

A=(0,4)

Place

C=(0,0),

B=(3,0),

A=(0,4)

大提示：

两条三等分角射线与

CB

分别成

30^\circ

和

60^\circ

；分别求它们与

\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1

的交点

The two trisector rays make angles

30^\circ

and

60^\circ

with

CB

; intersect each with

\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1

解答：

设

C=(0,0)

、

B=(3,0)

、

A=(0,4)

。斜边的方程为

\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1

。与水平边成

30^\circ

的三等分角射线为

y=\frac{x}{\sqrt3}

。代入得

x=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3+3}\text{。}

其长度为

\frac{x}{\cos30^\circ}=\frac{2x}{\sqrt3}

，即

\frac{24}{4\sqrt3+3} =\frac{32\sqrt3-24}{13}\text{。}

与水平边成

60^\circ

的射线给出较长的三等分角线。

因此，正确答案是 A。

Place

C=(0,0),

B=(3,0),

A=(0,4).

The hypotenuse has equation

\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1.

The

30^\circ

trisector ray is

y=\frac{x}{\sqrt3}.

Substitution gives

x=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3+3}.

Its length is

\frac{x}{\cos30^\circ}=\frac{2x}{\sqrt3},

hence

\frac{24}{4\sqrt3+3} =\frac{32\sqrt3-24}{13}.

The

60^\circ

ray gives the longer trisector.

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 40 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

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