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1961 AMC 12 第 40 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

40.

若

5x+12y=60

，求

\sqrt{x^2+y^2}

的最小值。

Find the minimum value of

\sqrt{x^2+y^2}

if

5x+12y=60.

\dfrac{60}{13}

\dfrac{13}{5}

\dfrac{13}{12}

1

0

答案：A

知识点：距离公式柯西-施瓦茨不等式最优化

难度评级：1300

小提示：

将

\sqrt{x^2+y^2}

解释为到原点的距离

Interpret

\sqrt{x^2+y^2}

as distance from the origin

大提示：

对

5x+12y

应用柯西-施瓦茨不等式

Apply Cauchy-Schwarz to

5x+12y

解答：

由柯西-施瓦茨不等式，

\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2} \end{aligned}\text{。}

因此该距离至少为

\frac{60}{13}

。当

(x,y)

与

(5,12)

成比例时取等号，所以最小值为

\frac{60}{13}

。

因此，正确答案是 A。

By Cauchy-Schwarz,

\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}

Thus the distance is at least

\frac{60}{13}.

Equality occurs when

(x,y)

is proportional to

(5,12),

so the minimum is

\frac{60}{13}.

Therefore, the correct answer is A.

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