1965 AMC 12 第 39 题

Question

一名工头看到检验员用一个

2

英寸塞规和一个

1

英寸塞规检查一个直径为

3

英寸的孔，便建议再插入两个量规，以确保它们恰好紧密贴合。若两个新量规相同，则各自的直径

d

精确到百分之一英寸为：

A foreman noticed an inspector checking a

3

-inch hole with a

2

-inch plug and a

1

-inch plug and suggested that two more gauges be inserted to be sure that the fit was snug. If the new gauges are alike, then the diameter

d

of each, to the nearest hundredth of an inch, is:

0.87

0.86

0.83

0.75

0.71

答案：B

知识点：相切圆坐标几何估算

难度评级：2410

小提示：

使用半径

\frac{3}{2}

、

1

和

\frac{1}{2}

，并设一个新量规的半径为

r

Use radii

\frac{3}{2},

1,

and

\frac{1}{2},

and let a new gauge have radius

r

大提示：

若其圆心为

(u,v)

，将三个相切距离方程两两相减

If its center is

(u,v)

, subtract its three tangency-distance equations

解答：

将孔的圆心置于原点。直径为

2

英寸和

1

英寸的塞规圆心分别为

(0,-\frac{1}{2})

和

(0,1)

。设一个新量规的半径为

r

，圆心为

(u,v)

。与两个塞规相切给出

\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2 \end{gathered}\text{，}

而与孔内切给出

u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2

。将方程两两相减得

v=\frac12+\frac r3

，且

v=\frac32-2r

。因此

r=\frac{3}{7}

，所以

d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86

。

因此，正确答案是 B。

Place the hole’s center at the origin. The

2

-inch and

1

-inch plug centers are

(0,-\frac{1}{2})

and

(0,1).

Let a new gauge have radius

r

and center

(u,v).

Tangency to the two plugs gives

\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}

while internal tangency to the hole gives

u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.

Subtracting pairs of equations yields

v=\frac12+\frac r3

and

v=\frac32-2r.

Thus

r=\frac{3}{7},

so

d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.

Therefore, the correct answer is B.

1965 AMC 12 第 39 题

答案：B

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

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