1950 AMC 12 第 39 题

Question

已知级数

2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots

以及下列五个说法：

(1)

和无限增大。

(2)

和无限减小。

(3)

数列任意一项与零之差都可以小于任意给定的正数，无论该正数多么小。

(4)

和与

4

之差可以小于任意给定的正数，无论该正数多么小。

(5)

和趋近于一个极限。

其中正确的说法是：

Given the series

2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots

and the following five statements:

(1)

the sum increases without limit.

(2)

the sum decreases without limit.

(3)

the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.

(4)

the difference between the sum and

4

can be made less than any positive quantity no matter how small.

(5)

the sum approaches a limit.

Of these statements, the correct ones are:

只有

3

和

4

Only

3

and

4

只有

5

Only

5

只有

2

和

4

Only

2

and

4

只有

2

、

3

和

4

Only

2,

3,

and

4

只有

4

和

5

Only

4

and

5

答案：E

知识点：等比数列求和微积分

难度评级：1670

小提示：

区分数列的项与级数的部分和

Distinguish the terms of the sequence from its partial sums

大提示：

首项为

2

、公比为

\frac{1}{2}

的等比级数，其部分和趋近于

4

A geometric series with first term

2

and ratio

\frac{1}{2}

has partial sums approaching

4

解答：

部分和递增并趋近于

\frac{2}{1-\frac12}=4\text{，}

所以它们既不无限增大，也不无限减小。因此，说法

1

和

2

错误，而说法

4

和

5

正确。

在说法

3

中，“任意一项”指已经选定的一项，它与零的距离固定，不能再变小；正确的说法应是可以选取足够靠后的项，使其小于任意给定的正数。因此，按原文措辞，说法

3

错误。

因此，只有说法

4

和

5

正确，所以正确答案是 E。

The partial sums increase toward

\frac{2}{1-\frac12}=4,

so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements

1

and

2

false, while statements

4

and

5

are true.

In statement

3,

“any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement

3

, as worded, is false.

Therefore only statements

4

and

5

are correct, so the correct answer is E.

1950 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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