Soluciones del 1983 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Sean

x,

y,

y

z

mayores que

1

, y sea

w

un número positivo tal que

\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}

Halla

\log_z w.

Let

x,

y,

and

z

all exceed

1

and let

w

be a positive number such that

\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}

Find

\log_z w.

Respuesta

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Reescribe cada logaritmo dado con base

w

Rewrite each given logarithm with base

w

Pista grande:

Expande

\log_w(xyz)

como una suma de tres logaritmos

Expand

\log_w(xyz)

as a sum of three logarithms

Solución:

Al tomar los recíprocos de los logaritmos dados se obtiene

\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}

Por lo tanto,

\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.

Al tomar el recíproco se obtiene

\log_z w=60.

Taking reciprocals of the given logarithms gives

\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}

Therefore

\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.

Taking the reciprocal yields

\log_z w=60.

2.

Sea

f(x)=|x-p|+|x-15|

{}+|x-p-15|,

donde

0<p<15.

Determina el valor mínimo que toma

f(x)

para

x

en el intervalo

p\leq x\leq15.

Let

f(x)=|x-p|+|x-15|

{}+|x-p-15|,

where

0<p<15.

Determine the minimum value taken by

f(x)

for

x

in the interval

p\leq x\leq15.

Respuesta

Conceptos:valor absoluto optimización

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Determina el signo de cada expresión dentro de un valor absoluto en el intervalo dado

Determine the sign of each expression inside an absolute value on the given interval

Pista grande:

En

p\leq x\leq15,

simplifica

f(x)

a una función lineal decreciente

On

p\leq x\leq15,

simplify

f(x)

to a decreasing linear function

Solución:

Como

p\leq x\leq15,

tenemos

\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}

Por consiguiente,

f(x)=30-x.

Esto se minimiza en el extremo derecho

x=15,

donde su valor es

15.

Since

p\leq x\leq15,

we have

\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}

Hence

f(x)=30-x.

This is minimized at the right endpoint

x=15,

where its value is

15.

3.

¿Cuál es el producto de las raíces reales de la ecuación

\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}

What is the product of the real roots of the equation

\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}

Respuesta

Conceptos:radical sustitución Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

La expresión fuera del radical es

15

menor que el radicando

The expression outside the radical is

15

less than the radicand

Pista grande:

Sea

t=\sqrt{x^2+18x+45}

y resuelve

t^2-15=2t

Set

t=\sqrt{x^2+18x+45}

and solve

t^2-15=2t

Solución:

Sea

t=\sqrt{x^2+18x+45},

de modo que

t\geq0.

La ecuación se convierte en

t^2-15=2t,

o

(t-5)(t+3)=0.

Por tanto,

t=5,

y

x^2+18x+45=25,

así que las raíces reales satisfacen

x^2+18x+20=0.

Por las fórmulas de Vieta, su producto es

20.

Set

t=\sqrt{x^2+18x+45},

so

t\geq0.

The equation becomes

t^2-15=2t,

or

(t-5)(t+3)=0.

Thus

t=5,

and

x^2+18x+45=25,

so the real roots satisfy

x^2+18x+20=0.

By Vieta’s formulas, their product is

20.

4.

Una herramienta de corte de un taller mecánico tiene la forma de un círculo con una muesca, como se muestra. El radio del círculo es

\sqrt{50}

cm, la longitud de

AB

es

6

cm y la de

BC

es

2

cm. El ángulo

ABC

es recto. Halla el cuadrado de la distancia (en centímetros) de

B

al centro del círculo.

A machine-shop cutting tool has the shape of a notched circle, as shown. The radius of the circle is

\sqrt{50}

cm, the length of

AB

is

6

cm, and that of

BC

is

2

cm. The angle

ABC

is a right angle. Find the square of the distance (in centimeters) from

B

to the center of the circle.

Respuesta

Conceptos:círculo geometría analítica mediatriz

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Coloca

B=(0,0),

A=(0,6),

y

C=(2,0)

Put

B=(0,0),

A=(0,6),

and

C=(2,0)

Pista grande:

El centro está en la mediatriz de

AC

, a una distancia

\sqrt{40}

de su punto medio

The center lies on the perpendicular bisector of

AC

at distance

\sqrt{40}

from its midpoint

Solución:

Coloca

B=(0,0),

A=(0,6),

y

C=(2,0).

El punto medio de

AC

es

M=(1,3),

y

AC=\sqrt{40}.

Si

O

es el centro, entonces

\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}

Un vector perpendicular a

AC=(2,-6)

es

(6,2),

que ya tiene longitud

\sqrt{40}.

Por tanto, los dos centros posibles son

\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}

En el círculo con muesca de la figura, el centro está en el lado opuesto a la muesca, así que

O=(-5,1).

Por consiguiente,

BO^2=(-5)^2+1^2=26.

Put

B=(0,0),

A=(0,6),

and

C=(2,0).

The midpoint of

AC

is

M=(1,3),

and

AC=\sqrt{40}.

If

O

is the center, then

\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}

A vector perpendicular to

AC=(2,-6)

is

(6,2),

which already has length

\sqrt{40}.

Thus the two possible centers are

\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}

The pictured notched circle has its center on the side opposite the notch, so

O=(-5,1).

Therefore

BO^2=(-5)^2+1^2=26.

5.

Supón que la suma de los cuadrados de dos números complejos

x

y

y

es

7

, y la suma de sus cubos es

10.

¿Cuál es el mayor valor real que puede tomar

x+y

?

Suppose that the sum of the squares of two complex numbers

x

and

y

is

7

and the sum of the cubes is

10.

What is the largest real value that

x+y

can have?

Respuesta

Conceptos:número complejo simetría (álgebra)factorización

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Sea

s=x+y

y

p=xy

Let

s=x+y

and

p=xy

Pista grande:

Usa

x^2+y^2=s^2-2p

para eliminar

p

de

x^3+y^3=s^3-3ps

Use

x^2+y^2=s^2-2p

to eliminate

p

from

x^3+y^3=s^3-3ps

Solución:

Sean

s=x+y

y

p=xy.

De

x^2+y^2=s^2-2p=7,

obtenemos

p=\frac{s^2-7}{2}.

Además,

\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}

Por lo tanto,

\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}

Cada raíz produce un posible par de raíces complejas de

t^2-st+p=0,

así que el mayor valor real posible de

s=x+y

es

4.

Let

s=x+y

and

p=xy.

From

x^2+y^2=s^2-2p=7,

we get

p=\frac{s^2-7}{2}.

Also,

\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}

Hence

\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}

Each root gives a possible pair of complex roots of

t^2-st+p=0,

so the largest real possible value of

s=x+y

is

4.

6.

Sea

a_n=6^n+8^n.

Determina el residuo al dividir

a_{83}

entre

49.

Let

a_n=6^n+8^n.

Determine the remainder on dividing

a_{83}

by

49.

Respuesta

Conceptos:teorema del binomio aritmética modular exponenciación modular

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe

6=7-1

y

8=7+1

Write

6=7-1

and

8=7+1

Pista grande:

Módulo

49,

solo sobreviven los términos constante y lineal de cada expansión binomial

Modulo

49,

only the constant and linear terms of each binomial expansion survive

Solución:

Módulo

49,

se anula todo término binomial que contenga

7^2

. Como

83

es impar,

6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7

y

8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.

Su suma es congruente con

166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.

Modulo

49,

every binomial term containing

7^2

vanishes. Since

83

is odd,

6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7

and

8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.

Their sum is congruent to

166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.

7.

Veinticinco de los caballeros del rey Arturo están sentados en torno a su habitual mesa redonda. Se eligen tres de ellos, con todas las ternas igualmente probables, y se los envía a matar a un dragón que causaba problemas. Sea

P

la probabilidad de que al menos dos de los tres ocuparan asientos contiguos. Si

P

se escribe como una fracción irreducible, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

Twenty-five of King Arthur’s knights are seated at their customary round table. Three of them are chosen, with all choices of three equally likely, and are sent off to slay a troublesome dragon. Let

P

be the probability that at least two of the three had been sitting next to each other. If

P

is written as a fraction in lowest terms, what is the sum of the numerator and denominator?

Respuesta

Conceptos:combinaciones conteo complementario probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Cuenta las selecciones complementarias en las que no hay dos caballeros elegidos adyacentes

Count the complementary selections in which no two chosen knights are adjacent

Pista grande:

Separa las selecciones que contienen a un caballero fijo de las que no lo contienen

Split into selections containing a fixed knight and selections not containing that knight

Solución:

Hay

\binom{25}{3}=2300

selecciones. Fija un asiento. Si no se elige, seleccionar tres asientos no adyacentes entre los

24

restantes equivale a elegir tres posiciones no consecutivas de una fila de

24,

lo que da

\binom{22}{3}.

Si se elige el asiento fijo, sus dos vecinos quedan prohibidos y los otros dos asientos elegidos deben ser no consecutivos entre la fila restante de

22,

lo que da

\binom{21}{2}.

Por tanto, el número de selecciones sin asientos elegidos adyacentes es

\begin{aligned} \binom{22}{3}+\binom{21}{2} &=1540+210\\ &=1750. \end{aligned}

Así,

P=1-\frac{1750}{2300}=\frac{11}{46},

y la suma pedida es

11+46=57.

There are

\binom{25}{3}=2300

selections. Fix one seat. If it is not selected, choosing three nonadjacent seats among the remaining

24

seats is equivalent to choosing three nonconsecutive positions from a row of

24,

giving

\binom{22}{3}.

If the fixed seat is selected, its two neighbors are forbidden, and the other two selected seats must be nonconsecutive among the remaining row of

22,

giving

\binom{21}{2}.

Thus the number with no adjacent selected seats is

\begin{aligned} \binom{22}{3}+\binom{21}{2} &=1540+210\\ &=1750. \end{aligned}

Therefore

P=1-\frac{1750}{2300}=\frac{11}{46},

and the requested sum is

11+46=57.

8.

¿Cuál es el mayor factor primo de

2

cifras del entero

n=\binom{200}{100}

?

What is the largest

2

-digit prime factor of the integer

n=\binom{200}{100}?

Respuesta

Conceptos:Fórmula de Legendre primo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Para un primo

p>50,

compara el exponente de

p

en

200!

con el doble de su exponente en

100!

For a prime

p>50,

compare the exponent of

p

in

200!

with twice its exponent in

100!

Pista grande:

Los primos de

67

a

99

se cancelan; los primos de

51

a

66

no

Primes from

67

through

99

cancel; primes from

51

through

66

do not

Solución:

Para un primo

p>50,

tenemos

p^2>200,

de modo que

\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}

Si

67\leq p<100,

esto es

2-2=0.

Si

50<p\leq66,

es

3-2=1.

Por tanto, ningún primo mayor que

66

divide al coeficiente binomial, mientras que todo primo entre

50

y

66

sí lo divide. El mayor de ellos es

61.

For a prime

p>50,

we have

p^2>200,

so

\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}

If

67\leq p<100,

this is

2-2=0.

If

50<p\leq66,

it is

3-2=1.

Hence no prime greater than

66

divides the binomial coefficient, while every prime between

50

and

66

does. The largest such prime is

61.

9.

Halla el valor mínimo de

\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}

para

0<x<\pi.

Find the minimum value of

\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}

for

0<x<\pi.

Respuesta

Conceptos:Desigualdad MA-MG trigonometría optimización

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sea

t=x\sin x,

que es positivo en el intervalo dado

Set

t=x\sin x,

which is positive on the given interval

Pista grande:

Aplica AM-GM a

9t+\frac4t

y comprueba que se puede alcanzar la igualdad

Apply AM-GM to

9t+\frac4t

and verify that equality is attainable

Solución:

Sea

t=x\sin x>0.

La expresión se convierte en

9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,

con igualdad cuando

9t=\frac{4}{t},

o

t=\frac{2}{3}.

La función continua

x\sin x

tiende a

0

cuando

x

tiende a

0

, y vale

\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}

en

x=\frac{\pi}{2}.

Por tanto, toma el valor

\frac{2}{3}

en algún punto de

(0,\frac{\pi}{2}),

de modo que se alcanza la cota inferior

12

.

Let

t=x\sin x>0.

The expression becomes

9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,

with equality when

9t=\frac{4}{t},

or

t=\frac{2}{3}.

The continuous function

x\sin x

tends to

0

as

x

tends to

0

and equals

\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}

at

x=\frac{\pi}{2}.

Thus it takes the value

\frac{2}{3}

somewhere in

(0,\frac{\pi}{2}),

so the lower bound

12

is attained.

10.

Los números

1447,

1005,

y

1231

tienen algo en común: cada uno es un número de cuatro cifras que comienza con

1

y tiene exactamente dos cifras idénticas. ¿Cuántos números de este tipo hay?

The numbers

1447,

1005,

and

1231

have something in common: each is a four-digit number beginning with

1

that has exactly two identical digits. How many such numbers are there?

Respuesta

Conceptos:dígitos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Separa el caso en que la cifra repetida es

1

del caso en que no lo es

Separate the case where the repeated digit is

1

from the case where it is not

Pista grande:

En cada caso, elige las posiciones de la cifra repetida antes de elegir la cifra distinta restante

In each case, choose the repeated digit’s positions before choosing the remaining distinct digit

Solución:

Si

1

es la cifra repetida, exactamente una de las últimas tres posiciones contiene un

1.

Hay

3

opciones para esa posición,

9

opciones para la siguiente cifra y

8

para la última, pues esas dos cifras deben diferir entre sí y de

1.

Esto da

3\cdot9\cdot8=216

números.

Si se repite una cifra distinta de

1

, hay

9

opciones para esa cifra,

3

maneras de elegir sus dos posiciones entre las últimas tres y

8

opciones para la cifra restante. Esto da otros

9\cdot3\cdot8=216

números. El total es

216+216=432.

If

1

is the repeated digit, exactly one of the last three positions contains

1.

There are

3

choices for that position,

9

choices for the next digit, and

8

for the last digit, since those two digits must differ from each other and from

1.

This gives

3\cdot9\cdot8=216

numbers.

If a digit other than

1

is repeated, there are

9

choices for that digit,

3

ways to choose its two positions among the last three, and

8

choices for the remaining digit. This gives another

9\cdot3\cdot8=216

numbers. The total is

216+216=432.

11.

El sólido mostrado tiene una base cuadrada de lado

s.

La arista superior es paralela a la base y tiene longitud

2s.

Todas las demás aristas tienen longitud

s.

Dado que

s=6\sqrt2,

¿cuál es el volumen del sólido?

The solid shown has a square base of side length

s.

The upper edge is parallel to the base and has length

2s.

All other edges have length

s.

Given that

s=6\sqrt2,

what is the volume of the solid?

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D volumen escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Halla la altura proyectando cualquiera de los extremos de la arista superior sobre la base

Find the height by projecting either endpoint of the upper edge onto the base

Pista grande:

A una fracción

t

de la altura, la sección transversal es un rectángulo de lados

s(1-t)

y

s(1+t)

At a fraction

t

of the height, the cross-section is a rectangle with sides

s(1-t)

and

s(1+t)

Solución:

Cada extremo de la arista superior está unido a los extremos de un lado de la base cuadrada. Por tanto, su distancia al punto medio de ese lado es

\frac{\sqrt3s}{2}.

La proyección de cada extremo superior queda

\frac{s}{2}

más allá de ese punto medio, porque los dos extremos proyectados están separados por

2s

, mientras que los puntos medios de los dos lados opuestos están separados por

s

. Así, la altura

h

satisface

h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2},

de modo que

h=\frac{s}{\sqrt2}.

A una fracción

t

de la altura sobre la base, la sección transversal es un rectángulo cuyas dimensiones son

s(1-t)

y

s(1+t).

Su área es

s^2(1-t^2).

Por el principio de Cavalieri, el volumen es el volumen

s^2h

de un prisma menos el volumen

\frac{s^2h}{3}

de una pirámide:

V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3.

Al sustituir

s=6\sqrt2

, se obtiene

V=288.

Each endpoint of the upper edge is joined to the endpoints of one side of the square base. Its distance to that side’s midpoint is therefore

\frac{\sqrt3s}{2}.

The projection of each upper endpoint lies

\frac{s}{2}

beyond that midpoint, because the two projected endpoints are

2s

apart while the two opposite-side midpoints are

s

apart. Thus the height

h

satisfies

h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2},

so

h=\frac{s}{\sqrt2}.

At a fraction

t

of the height above the base, the cross-section is a rectangle whose dimensions are

s(1-t)

and

s(1+t).

Its area is

s^2(1-t^2).

By Cavalieri’s principle, the volume is the volume

s^2h

of a prism minus the volume

\frac{s^2h}{3}

of a pyramid:

V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3.

Substituting

s=6\sqrt2

gives

V=288.

12.

El diámetro

AB

de un círculo tiene como longitud un entero de

2

cifras (en base diez). Al invertir las cifras se obtiene la longitud de la cuerda perpendicular

CD.

La distancia desde su punto de intersección

H

hasta el centro

O

es un número racional positivo. Determina la longitud de

AB.

Diameter

AB

of a circle has length a

2

-digit integer (base ten). Reversing the digits gives the length of the perpendicular chord

CD.

The distance from their intersection point

H

to the center

O

is a positive rational number. Determine the length of

AB.

Respuesta

Conceptos:cuerda dígitos cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Escribe el diámetro como

10a+b

y la cuerda como

10b+a

Write the diameter as

10a+b

and the chord as

10b+a

Pista grande:

El cuadrado de la distancia del centro a la cuerda es la cuarta parte de la diferencia de sus cuadrados

The squared distance from the center to the chord is one fourth the difference of their squares

Solución:

Sean

10a+b

la longitud del diámetro y

10b+a

la de la cuerda. Como una perpendicular desde el centro biseca una cuerda,

\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}

Para que

OH

sea racional,

11(a^2-b^2)

debe ser un cuadrado. Por tanto, es igual a

121c^2,

de modo que

(a-b)(a+b)=11c^2.

Como

a

y

b

son cifras con

a>b,

el lado izquierdo es a lo sumo

81,

así que

c=1

o

2.

Si

c=1,

los factores son

1

y

11,

lo que da

a=6

y

b=5.

Si

c=2,

los pares de factores de

44

tienen distinta paridad o dan

a>9.

Por consiguiente, el diámetro es

65.

Let the diameter be

10a+b

and the chord be

10b+a.

Since a perpendicular from the center bisects a chord,

\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}

For

OH

to be rational,

11(a^2-b^2)

must be a square. Thus it equals

121c^2,

so

(a-b)(a+b)=11c^2.

Because

a

and

b

are digits with

a>b,

the left side is at most

81,

so

c=1

or

2.

If

c=1,

the factors are

1

and

11,

giving

a=6

and

b=5.

If

c=2,

the factor pairs of

44

either have different parity or give

a>9.

Hence the diameter is

65.

13.

Para cada subconjunto no vacío de

\{1,2,3,\ldots,n\}

, se define una suma alternada única de la siguiente manera: ordena los números del subconjunto en orden decreciente y luego, empezando por el mayor, suma y resta alternativamente los números sucesivos. (Por ejemplo, la suma alternada de

\{1,2,4,6,9\}

es

9-6+4-2+1=6

, y para

\{5\}

es simplemente

5.

) Halla la suma de todas estas sumas alternadas para

n=7.

For

\{1,2,3,\ldots,n\}

and each of its nonempty subsets a unique alternating sum is defined as follows: Arrange the numbers in the subset in decreasing order and then, beginning with the largest, alternately add and subtract successive numbers. (For example, the alternating sum for

\{1,2,4,6,9\}

is

9-6+4-2+1=6

and for

\{5\}

it is simply

5.

) Find the sum of all such alternating sums for

n=7.

Respuesta

Conceptos:subconjuntos doble conteo teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Suma por separado la contribución de cada número sobre todos los subconjuntos

Add the contribution of each number separately over all subsets

Pista grande:

El signo de

k

depende solo de si el subconjunto contiene un número par o impar de elementos mayores que

k

The sign of

k

depends only on whether the subset contains an even or odd number of elements greater than

k

Solución:

Fija

k.

Una vez incluido

k,

los

k-1

elementos menores se pueden elegir arbitrariamente, lo que aporta un factor de

2^{k-1}.

Si se eligen exactamente

j

de los

7-k

elementos mayores, el signo de

k

es

(-1)^j.

Por tanto, el coeficiente de

k

en el total es

\begin{aligned} &2^{k-1}\sum_{j=0}^{7-k} (-1)^j\binom{7-k}{j}\\ &\qquad=2^{k-1}(1-1)^{7-k}. \end{aligned}

Esto es

0

para

k<7

y

2^6

para

k=7.

Por consiguiente, el total es

7\cdot2^6=448.

Fix

k.

Once

k

is included, the

k-1

smaller elements may be chosen arbitrarily, contributing a factor of

2^{k-1}.

If exactly

j

of the

7-k

larger elements are chosen, the sign of

k

is

(-1)^j.

Therefore the coefficient of

k

in the total is

\begin{aligned} &2^{k-1}\sum_{j=0}^{7-k} (-1)^j\binom{7-k}{j}\\ &\qquad=2^{k-1}(1-1)^{7-k}. \end{aligned}

This is

0

for

k<7

and

2^6

for

k=7.

Hence the total is

7\cdot2^6=448.

14.

En la figura adjunta se trazan dos círculos de radios

6

y

8

, cuyos centros están separados por

12

unidades. En

P,

uno de los puntos de intersección, se traza una recta de modo que las cuerdas

QP

y

PR

tengan la misma longitud. Halla el cuadrado de la longitud de

QP.

In the adjoining figure, two circles of radii

6

and

8

are drawn with their centers

12

units apart. At

P,

one of the points of intersection, a line is drawn in such a way that the chords

QP

and

PR

have equal length. Find the square of the length of

QP.

Respuesta

Conceptos:círculo cuerda geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Coloca los centros en

(-6,0)

y

(6,0)

y halla las coordenadas de

P

Put the centers at

(-6,0)

and

(6,0)

and find the coordinates of

P

Pista grande:

Si

Q=P-\ell u

y

R=P+\ell u,

resta, en cada círculo, las ecuaciones de igual radio para el extremo correspondiente y el punto de intersección

If

Q=P-\ell u

and

R=P+\ell u,

subtract the two equal-radius equations

Solución:

Coloca el centro del círculo de radio

8

en

O_1=(-6,0)

y el otro centro en

O_2=(6,0).

Al restar las dos ecuaciones de los círculos se obtiene

P=\left(\frac76,\frac{\sqrt{455}}6\right),

donde la coordenada

y

positiva selecciona la intersección mostrada.

Sea

\ell

la longitud común de las cuerdas y sea

u

el vector unitario de

Q

hacia

R.

Entonces

Q=P-\ell u

y

R=P+\ell u.

Al comparar

Q

con

P

en el primer círculo y

R

con

P

en el segundo, se obtiene

\begin{aligned} u\mathbin{\cdot}(P-O_1)&=\frac{\ell}{2},\\ u\mathbin{\cdot}(P-O_2)&=-\frac{\ell}{2}. \end{aligned}

Al sumar se ve que

u\perp P,

de modo que

u=\frac{(\sqrt{455},-7)}{\sqrt{504}}.

Al restar las dos ecuaciones de productos escalares se obtiene

\ell=u\mathbin{\cdot}(O_2-O_1) =\frac{12\sqrt{455}}{\sqrt{504}}.

Por lo tanto,

\ell^2=\frac{144\cdot455}{504}=130.

Put the center of the radius-

8

circle at

O_1=(-6,0)

and the other center at

O_2=(6,0).

Subtracting the two circle equations gives

P=\left(\frac76,\frac{\sqrt{455}}6\right),

where the positive

y

-coordinate selects the pictured intersection.

Let the common chord length be

\ell,

and let

u

be the unit vector from

Q

toward

R.

Then

Q=P-\ell u

and

R=P+\ell u.

Comparing

Q

with

P

in the first circle and

R

with

P

in the second gives

\begin{aligned} u\mathbin{\cdot}(P-O_1)&=\frac{\ell}{2},\\ u\mathbin{\cdot}(P-O_2)&=-\frac{\ell}{2}. \end{aligned}

Adding shows that

u\perp P,

so

u=\frac{(\sqrt{455},-7)}{\sqrt{504}}.

Subtracting the two dot-product equations gives

\ell=u\mathbin{\cdot}(O_2-O_1) =\frac{12\sqrt{455}}{\sqrt{504}}.

Therefore

\ell^2=\frac{144\cdot455}{504}=130.

15.

La figura adjunta muestra dos cuerdas que se cortan en un círculo, con

B

en el arco menor

AD.

Supón que el radio del círculo es

5,

que

BC=6,

y que

AD

es bisecada por

BC.

Supón además que

AD

es la única cuerda con extremo en

A

que es bisecada por

BC.

Se deduce que el seno del ángulo central subtendido por el arco menor

AB

es un número racional. Si este número se expresa como una fracción irreducible

\frac{m}{n}

, ¿cuál es el producto

mn

?

The adjoining figure shows two intersecting chords in a circle, with

B

on minor arc

AD.

Suppose that the radius of the circle is

5,

that

BC=6,

and that

AD

is bisected by

BC.

Suppose further that

AD

is the only chord starting at

A

which is bisected by

BC.

It follows that the sine of the minor arc

AB

is a rational number. If this fraction is expressed as a fraction

\frac{m}{n}

in lowest terms, what is the product

mn?

Respuesta

Conceptos:cuerda recta tangente potencia de un punto geometría analítica

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Los puntos medios de todas las cuerdas con extremo en

A

están en el círculo cuyo diámetro une

A

con el centro

The midpoints of all chords from

A

lie on the circle with diameter joining

A

to the center

Pista grande:

La unicidad hace que

BC

sea tangente a ese círculo de puntos medios en el punto medio de

AD

Uniqueness makes

BC

tangent to that midpoint circle at the midpoint of

AD

Solución:

Sea

H

el punto medio de

AD.

Coloca

H=(0,0),

A=(-a,0),

D=(a,0),

y sea

O=(0,k)

el centro del círculo. Entonces

a^2+k^2=25.

Los puntos medios de todas las cuerdas con extremo en

A

forman el círculo con centro

\frac{A+O}{2}

y radio

\frac{5}{2}.

Como

AD

es la única cuerda de este tipo bisecada por la recta

BC,

esa recta es tangente al círculo de puntos medios en

H.

Por tanto, para

BC

se puede tomar

u=\frac{(k,a)}{5}

como vector unitario de dirección, perpendicular a

A+O=(-a,k).

Escribe

B=-pu

y

C=qu,

donde

p,q>0.

Entonces

p+q=6,

y el teorema de las cuerdas que se cortan da

pq=a^2.

Al sustituir la recta en el círculo original también se obtiene

q-p=2u\mathbin{\cdot}O=\frac{2ak}{5}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} 36-4a^2&=(q-p)^2\\ &=\frac{4a^2(25-a^2)}{25}, \end{aligned}

de modo que

a^4-50a^2+225=0.

Sus raíces son

a^2=5

y

45,

pero

a^2=pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}=9.

Así,

a^2=5,

y

\{p,q\}=\{1,5\}.

Elige

a=\sqrt5,

k=2\sqrt5,

y

p=1

para el extremo

B

del arco menor

AD.

Entonces

\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &=(-\sqrt5,-2\sqrt5),\\ \overrightarrow{OB} &=\left(-\frac2{\sqrt5}, -\frac{11}{\sqrt5}\right). \end{aligned}

El seno del ángulo central subtendido por el arco menor

AB

es el valor absoluto del determinante de estos vectores radiales dividido entre

5^2,

es decir,

\sin\overset{\frown}{AB}=\frac{|11-4|}{25}=\frac7{25}.

Por consiguiente,

mn=7\cdot25=175.

Let

H

be the midpoint of

AD.

Put

H=(0,0),

A=(-a,0),

D=(a,0),

and let the circle’s center be

O=(0,k).

Then

a^2+k^2=25.

The midpoints of all chords starting at

A

form the circle with center

\frac{A+O}{2}

and radius

\frac{5}{2}.

Because

AD

is the only such chord bisected by the line

BC,

that line is tangent to the midpoint circle at

H.

Hence a unit direction vector for

BC

may be taken as

u=\frac{(k,a)}{5},

perpendicular to

A+O=(-a,k).

Write

B=-pu

and

C=qu,

where

p,q>0.

Then

p+q=6,

and intersecting chords give

pq=a^2.

Substituting the line into the original circle also gives

q-p=2u\mathbin{\cdot}O=\frac{2ak}{5}.

Therefore

\begin{aligned} 36-4a^2&=(q-p)^2\\ &=\frac{4a^2(25-a^2)}{25}, \end{aligned}

so

a^4-50a^2+225=0.

Its roots are

a^2=5

and

45,

but

a^2=pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}=9.

Thus

a^2=5,

and

\{p,q\}=\{1,5\}.

Choose

a=\sqrt5,

k=2\sqrt5,

and

p=1

for the endpoint

B

on minor arc

AD.

Then

\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &=(-\sqrt5,-2\sqrt5),\\ \overrightarrow{OB} &=\left(-\frac2{\sqrt5}, -\frac{11}{\sqrt5}\right). \end{aligned}

The sine of the central angle subtending minor arc

AB

is the absolute determinant of these radius vectors divided by

5^2,

namely

\sin\overset{\frown}{AB}=\frac{|11-4|}{25}=\frac7{25}.

Hence

mn=7\cdot25=175.