Question

La función $f$ está definida por $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ para todos los números reales $x,$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $r.$ ¿Cuál es el rango de $f$ ?

The function $f$ is defined by $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ for all real numbers $x,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r.$ What is the range of $f?$

$\{-1, 0\}$

El conjunto de los enteros no positivos

The set of nonpositive integers

$\{-1, 0, 1\}$

$\{0\}$

El conjunto de los enteros no negativos

The set of nonnegative integers

Respuesta: A

Conceptos:funciones piso y techo valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Revisa por separado los números positivos, los enteros y los no enteros negativos.

Check positive numbers, integers, and negative non-integers separately

Pista grande:

Para los no enteros negativos, compara el redondeo antes y después de tomar el valor absoluto.

For negative non-integers, compare rounding before and after absolute value

Solución:

Si $x\ge0$ , entonces $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ , así que $f(x)=0$ .

Si $x$ es un entero negativo, ambos términos son iguales a $|x|$ , por lo que también $f(x)=0$ .

Si $x$ es negativo y no entero, escribimos $x=-k-t$ , donde $k$ es un entero no negativo y $0<t<1$ . Entonces $\lfloor|x|\rfloor=k$ , mientras que $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ , de modo que $f(x)=-1$ .

Por tanto, el recorrido es $\{-1,0\}.$

Así, la respuesta es A.

If $x\ge0$ , then $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ , so $f(x)=0$ .

If $x$ is a negative integer, both terms equal $|x|$ , so again $f(x)=0$ .

If $x$ is negative and not an integer, write $x=-k-t$ , where $k$ is a nonnegative integer and $0<t<1$ . Then $\lfloor|x|\rfloor=k$ , while $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ , so $f(x)=-1$ .

Therefore, the range is $\{-1,0\}.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 9

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años