1956 AMC 12 Problema 43

Question

El número de triángulos escalenos cuyos lados tienen longitudes enteras y cuyo perímetro es menor que

13

es:

The number of scalene triangles having all sides of integral lengths, and perimeter less than

13

is:

1

2

3

4

18

Respuesta: C

Conceptos:integer triangles desigualdad triangular enumeration

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Ordena los lados enteros distintos como

a\lt b\lt c

y usa

a+b\gt c

Order the distinct integer sides as

a\lt b\lt c

and use

a+b\gt c

Pista grande:

Enumera las posibilidades según el lado mayor; la cota del perímetro solo permite valores pequeños de

c

List possibilities by the largest side; the perimeter bound leaves only small values of

c

Solución:

Escribimos los lados enteros distintos en orden creciente. Al revisar las posibilidades pequeñas que cumplen la desigualdad triangular y la cota del perímetro, se obtiene

\begin{aligned} &(2,3,4),\ (2,4,5),\\ &(3,4,5). \end{aligned}

Para

c\ge6,

el menor candidato escaleno nuevo que satisface

a+b\gt c

es

(3,4,6),

cuyo perímetro ya es

13,

y ninguna opción mayor puede servir. Por tanto, hay

3

triángulos.

La respuesta correcta es C.

Write the distinct integer sides in increasing order. Checking the small possibilities under the triangle inequality and perimeter bound gives

\begin{aligned} &(2,3,4),\ (2,4,5),\\ &(3,4,5). \end{aligned}

For

c\ge6,

the smallest new scalene candidate satisfying

a+b\gt c

is

(3,4,6),

whose perimeter is already

13,

and larger choices cannot qualify. Thus there are

3

triangles.

The correct answer is C.