1961 AMC 12 Problema 36

Question

En el triángulo

ABC

, la mediana desde

A

es perpendicular a la mediana desde

B.

Si

BC=7

y

AC=6,

halla

AB.

In triangle

ABC

the median from

A

is perpendicular to the median from

B.

If

BC=7

and

AC=6,

find the length of

AB.

4

\sqrt{17}

4.25

2\sqrt5

4.5

Respuesta: B

Conceptos:mediana (geometría)vector geometría analítica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Coloca

A

en el origen y representa

B

y

C

mediante vectores

Put

A

at the origin and represent

B

and

C

by vectors

Pista grande:

Escribe vectores directores de las medianas e iguala su producto escalar a cero

Write direction vectors for the two medians and set their dot product to zero

Solución:

Sean

A=\mathbf0,

B=\mathbf b,

y

C=\mathbf c,

con

|\mathbf b|=\ell,

|\mathbf c|=6,

y

|\mathbf c-\mathbf b|=7.

Las direcciones son

\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}

desde

A

y

\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b

desde

B.

Su producto escalar es cero, así que

(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.

Usando

\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},

se obtiene

\ell^2=17.

Por tanto,

AB=\sqrt{17}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

A=\mathbf0,

B=\mathbf b,

and

C=\mathbf c,

with

|\mathbf b|=\ell,

|\mathbf c|=6,

and

|\mathbf c-\mathbf b|=7.

The median directions are

\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}

from

A

and

\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b

from

B.

Their dot product is zero, so

(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.

Using

\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},

this simplifies to

\ell^2=17.

Hence

AB=\sqrt{17}.

Therefore, the correct answer is B.