1962 AMC 12 Problema 36

Question

Si

x

e

y

son enteros, ¿cuántos pares de soluciones tiene la ecuación

(x-8)(x-10)=2^y

?

If both

x

and

y

are integers, how many solutions are there to the equation

(x-8)(x-10)=2^y?

0

1

2

3

más de

3

more than

3

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica potencia de 2 diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Reescribe el lado izquierdo como

(x-9)^2-1

Rewrite the left side as

(x-9)^2-1

Pista grande:

Si

n=x-9,

los factores pares consecutivos

n-1

y

n+1

deben ser ambos potencias de

2

If

n=x-9,

then the consecutive even factors

n-1

and

n+1

must both be powers of

2

Solución:

Sea

n=x-9.

Entonces

2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).

Como el producto es una potencia de

2,

ninguno de los factores puede tener un divisor primo impar. Los únicos enteros pares consecutivos que difieren en

2

y que son potencias con signo de

2

son

(-4,-2)

y

(2,4).

Por tanto,

n=\pm3

y

y=3,

lo que da

x=6

o

12.

Hay

2

pares ordenados

(x,y).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put

n=x-9.

Then

2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).

Since the product is a power of

2,

both factors must have no odd prime divisor. The only consecutive even integers differing by

2

that are both signed powers of

2

are

(-4,-2)

and

(2,4).

Thus

n=\pm3

and

y=3,

giving

x=6

or

12.

There are

2

ordered pairs

(x,y).

Therefore, the correct answer is C.