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1983 AIME 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

求下列方程所有实根的乘积：

\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45} \end{gathered}\text{？}

What is the product of the real roots of the equation

\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}

答案

答案：20

知识点：根式换元法韦达定理

难度评级：2210

小提示：

根号外的表达式比被开方数少

15

The expression outside the radical is

15

less than the radicand

大提示：

令

t=\sqrt{x^2+18x+45}

，并解

t^2-15=2t

Set

t=\sqrt{x^2+18x+45}

and solve

t^2-15=2t

解答：

令

t=\sqrt{x^2+18x+45}

，则

t\geq0

。原方程化为

t^2-15=2t\text{，}

即

(t-5)(t+3)=0

。因此

t=5

，并且

x^2+18x+45=25\text{，}

所以实根满足

x^2+18x+20=0

。由韦达定理，所有实根的乘积为

20

。

Set

t=\sqrt{x^2+18x+45},

so

t\geq0.

The equation becomes

t^2-15=2t,

or

(t-5)(t+3)=0.

Thus

t=5,

and

x^2+18x+45=25,

so the real roots satisfy

x^2+18x+20=0.

By Vieta’s formulas, their product is

20.