1987 AIME 第 7 题

Question

以

[r,s]

表示正整数

r

、

s

的最小公倍数。求满足

[a,b]=1000

、

[b,c]=2000

，且

[c,a]=2000

的有序三元组

(a,b,c)

的个数。

Let

[r,s]

denote the least common multiple of positive integers

r,

s.

Find the number of ordered triples

(a,b,c)

for which

[a,b]=1000,

[b,c]=2000,

and

[c,a]=2000.

答案

答案：70

知识点：最小公倍数质因数分解乘法原理

难度评级：2230

小提示：

分别考虑

2

和

5

的指数

Treat the exponents of

2

and

5

independently

大提示：

对每个质数，把每个最小公倍数条件转化为两个指数最大值的条件

For each prime, translate every least common multiple into a condition on pairwise maxima

解答：

对于

5

的指数，三个两两最大值都等于

3

。因此至少有两个指数为

3

：三个指数全为

3

有一种，恰有两个指数为

3

有

3\cdot3

种，共

10

种选择。

对于

2

的指数，第一对的最大值为

3

，另外两对的最大值为

4

。

c

的指数必须为

4

，而

a

和

b

的指数属于

\{0,1,2,3\}

，且最大值为

3

，共有

4^2-3^2=7

种选择。两部分相互独立，所以共有

10\cdot7=70

种。

For the exponent of

5,

all three pairwise maxima equal

3.

Thus at least two exponents are

3:

there is one all-

3

triple and

3\cdot3

triples with exactly two

3

’s, for

10

choices.

For the exponent of

2,

the first pair has maximum

3

while the other two have maximum

4.

The exponent of

c

must be

4,

and the exponents of

a

and

b

lie in

\{0,1,2,3\}

with maximum

3,

giving

4^2-3^2=7

choices. Independence gives

10\cdot7=70.

1987 AIME 第 7 题

答案：70

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

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