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1990 AIME 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

设

P_1

是正

r

边形，

P_2

是正

s

边形，且

(r\geq s\geq3)

。若

P_1

的每个内角都是

P_2

的每个内角的

\frac{59}{58}

倍，求

s

的最大可能值。

Let

P_1

be a regular

r

-gon and

P_2

be a regular

s

-gon

(r\geq s\geq3)

such that each interior angle of

P_1

is

\frac{59}{58}

as large as each interior angle of

P_2.

What is the largest possible value of

s?

答案

答案：117

知识点：正多边形整除性丢番图方程

难度评级：2040

小提示：

正

n

边形的内角为

\frac{180(n-2)}{n}

Use

\frac{180(n-2)}{n}

for the interior angle of a regular

n

-gon

大提示：

化简后令

t=118-s

，并利用

t

为正数

After simplifying, set

t=118-s

and use the positivity of

t

解答：

由内角条件可得

\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58}\text{，}

化简为

r(118-s)=116s

。令

t=118-s

，则

r=\frac{13688}{t}-116\text{。}

特别地，

t

是

13688

的正因数，而要使

s=118-t

最大，就要使

t

尽可能小。取

t=1

，得到

s=117

和正整数

r=13572

，它也满足

r\geq s

。因此

s

的最大可能值为

117

。

The angle condition gives

\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},

which simplifies to

r(118-s)=116s.

Put

t=118-s.

Then

r=\frac{13688}{t}-116.

In particular,

t

is a positive divisor of

13688,

and maximizing

s=118-t

means taking the least possible

t.

The choice

t=1

gives

s=117

and the positive integer

r=13572,

which also satisfies

r\geq s.

Hence the largest possible

s

is

117.