1995 AIME 第 5 题

Question

对于某些实数

a

、

b

、

c

和

d

，方程

x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0

有四个非实根。其中两个根的乘积为

13+i

，另外两个根的和为

3+4i

，这里

i=\sqrt{-1}

。求

b

。

For certain real values of

a,

b,

c,

and

d,

the equation

x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0

has four non-real roots. The product of two of these roots is

13+i

and the sum of the other two roots is

3+4i,

where

i=\sqrt{-1}.

Find

b.

答案

答案：51

知识点：复数韦达定理多项式

难度评级：2110

小提示：

由于多项式的系数为实数，它的非实根成共轭对出现

Because the polynomial has real coefficients, its non-real roots occur in conjugate pairs

大提示：

将六个根的两两乘积分成两组内部的乘积和四个交叉乘积

Group the six pairwise products into the products within the two groups and the four cross-products

解答：

设前两个根为

\alpha

和

\beta

。由于

\alpha\beta=13+i

不是实数，它们不是一对共轭根，所以另外两个根为

\overline\alpha

和

\overline\beta

。因此

\alpha+\beta=3-4i

，且

\overline\alpha\,\overline\beta=13-i

。由韦达定理，

\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51\end{aligned}\text{。}

Let the first two roots be

\alpha

and

\beta.

Since

\alpha\beta=13+i

is not real, they are not conjugates, so the other roots are

\overline\alpha

and

\overline\beta.

Hence

\alpha+\beta=3-4i

and

\overline\alpha\,\overline\beta=13-i.

By Vieta’s formulas,

\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51.\end{aligned}

1995 AIME 第 5 题

答案：51

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题