1951 AMC 12 第 46 题

Question

\overline{AB}

是圆心为

O

的圆的一条固定直径。从圆上任意一点

C

作弦

\overline{CD}

，使其垂直于

\overline{AB}

。当

C

在一个半圆上移动时，角

OCD

的平分线与圆相交于一点，该点始终：

\overline{AB}

is a fixed diameter of a circle whose center is

O.

From

C,

any point on the circle, a chord

\overline{CD}

is drawn perpendicular to

\overline{AB}.

Then, as

C

moves over a semicircle, the bisector of angle

OCD

cuts the circle in a point that always:

平分弧

AB

Bisects the arc

AB

三等分弧

AB

Trisects the arc

AB

位置随之变化

Varies

到

\overline{AB}

的距离与到

D

的距离相等

Is as far from

\overline{AB}

as from

D

到

B

与

C

的距离相等

Is equidistant from

B

and

C

答案：A

知识点：圆角平分线弧

难度评级：1880

小提示：

延长

\overline{CO}

过圆心，交圆于另一点

E

Extend

\overline{CO}

through the center to the opposite point

E

of the circle

大提示：

因为

CE

是直径且

CD\perp AB

，所以

C

点处的角平分线平分弧

DE

Because

CE

is a diameter and

CD\perp AB,

the angle bisector at

C

bisects arc

DE

解答：

延长

CO

，使其再次交圆于

E

。因为

CE

是直径，所以

\angle CDE=90^\circ

。又因为

CD\perp AB

，所以

DE\parallel AB

。若

\angle OCD=\angle ECD

的平分线交圆于

P

，则相等的圆周角所对弧相等，故

EP=PD

。由于平行弦

DE

的两个端点关于固定直径

AB

对称分布，其弧中点

P

就是弧

AB

的中点。

因此，正确答案是 A。

Extend

CO

to meet the circle again at

E.

Since

CE

is a diameter,

\angle CDE=90^\circ.

Also

CD\perp AB,

so

DE\parallel AB.

If the bisector of

\angle OCD=\angle ECD

meets the circle at

P,

equal inscribed angles give equal arcs

EP=PD.

Because the parallel chord

DE

has endpoints symmetrically placed relative to the fixed diameter

AB,

their arc midpoint

P

is the midpoint of arc

AB.

Thus, the correct answer is A.

1951 AMC 12 第 46 题

答案：A

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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