1954 AMC 12 第 39 题

Question

从给定圆外一点

P

向圆上任意一点作线段。若该圆的圆心为

O

，半径为

r

，则这些线段中点的轨迹为：

The locus of the midpoint of a line segment that is drawn from a given external point

P

to a given circle with center

O

and radius

r,

is:

垂直于

\overline{PO}

的直线

a straight line perpendicular to

\overline{PO}

平行于

\overline{PO}

的直线

a straight line parallel to

\overline{PO}

以

P

为圆心、

r

为半径的圆

a circle with center

P

and radius

r

以

\overline{PO}

的中点为圆心、

2r

为半径的圆

a circle with center at the midpoint of

\overline{PO}

and radius

2r

以

\overline{PO}

的中点为圆心、

\dfrac12r

为半径的圆

a circle with center at the midpoint of

\overline{PO}

and radius

\dfrac12r

答案：E

知识点：变换中点圆

难度评级：1630

小提示：

设圆上的动点为

X

，它与

P

所成线段的中点为

M

Let the variable endpoint on the given circle be

X

and its midpoint with

P

be

M

大提示：

映射

X\mapsto M

是以

P

为中心、比例因子为

\frac{1}{2}

的位似

The map

X\mapsto M

is a dilation centered at

P

with scale factor

\frac{1}{2}

解答：

当端点

X

在以

O

为圆心的圆上移动时，它与定点

P

所成线段的中点

M

是

X

在以

P

为中心、比例因子为

\frac{1}{2}

的位似下的像。因此该轨迹是一个圆，其圆心为

\overline{PO}

的中点，半径为

\frac{r}{2}

。

因此，正确答案是 E。

As the endpoint

X

moves on the circle centered at

O,

its midpoint

M

with the fixed point

P

is the image of

X

under a dilation of scale

\frac{1}{2}

centered at

P.

Therefore the locus is a circle whose center is the midpoint of

\overline{PO}

and whose radius is

\frac{r}{2}.

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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