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1960 AMC 12 第 36 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

36.

在同一个首项为

a

、公差为

d

的等差数列中，设前

n

、

2n

、

3n

项的和依次为

s_1

、

s_2

、

s_3

。令

R=s_3-s_2-s_1

。则

R

取决于：

Let

s_1,

s_2,

s_3

be the respective sums of

n,

2n,

3n

terms of the same arithmetic progression with

a

as the first term and

d

as the common difference. Let

R=s_3-s_2-s_1.

Then

R

is dependent on:

a

和

d

a

and

d

d

和

n

d

and

n

a

和

n

a

and

n

a

、

d

和

n

a,

d,

and

n

不取决于

a

、

d

或

n

中的任何一个

neither

a

nor

d

nor

n

答案：B

知识点：等差数列求和代数变形

难度评级：1670

小提示：

使用

S_k=\dfrac{k}{2}(2a+(k-1)d)

Use

S_k=\dfrac{k}{2}(2a+(k-1)d)

大提示：

依次代入

k=n,2n,3n

，分别合并含

a

和含

d

的项

Substitute

k=n,2n,3n

and collect the

a

-terms and

d

-terms separately

解答：

使用等差数列求和公式，

s_j=\frac{jn}{2}\bigl(2a+(jn-1)d\bigr)\text{。}

在

s_3-s_2-s_1

中，

a

的系数为

3n-2n-n=0

。化简其余各项，得到

R=2n^2d\text{。}

因此

R

取决于

d

和

n

，但不取决于

a

。

因此，正确答案是 B。

Using the arithmetic-series formula,

s_j=\frac{jn}{2}\bigl(2a+(jn-1)d\bigr).

In

s_3-s_2-s_1,

the coefficient of

a

is

3n-2n-n=0.

Simplifying the remaining terms gives

R=2n^2d.

Thus

R

depends on

d

and

n,

but not on

a.

Therefore, the correct answer is B.

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