1962 AMC 12 第 31 题

Question

两个边长均为单位长度的正多边形的内角之比为

3:2

。这样的多边形对有多少组？

The ratio of the interior angles of two regular polygons with sides of unit length is

3:2.

How many such pairs are there?

1

2

3

4

无穷多组

infinitely many

答案：C

知识点：正多边形角度和丢番图方程

难度评级：1710

小提示：

对于正

n

边形，一个内角为

\frac{180^\circ(n-2)}{n}

For an

n

-gon, an interior angle is

\frac{180^\circ(n-2)}{n}

大提示：

若较小的多边形有

n

条边，求出较大多边形的边数，并检验满足

3\le n\lt6

的整数

If the smaller polygon has

n

sides, solve for the larger side count and test the possible integers

3\le n\lt6

解答：

设较小和较大的多边形分别有

n

和

N

条边。则

\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32\text{，}

解得

N=\frac{4n}{6-n}

。由正数条件及

N\gt n

，可得

n=3

、

n=4

或

n=5

。它们分别给出

N=4

、

N=8

和

N=20

。因此共有

3

组。

所以正确答案是 C。

Let the smaller and larger polygons have

n

and

N

sides. Then

\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,

which gives

N=\frac{4n}{6-n}.

Positivity and

N\gt n

require

n=3,

n=4,

or

n=5.

These give

N=4,

N=8,

and

N=20,

respectively. Thus there are

3

pairs.

Therefore, the correct answer is C.

1962 AMC 12 第 31 题

答案：C

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题