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1960 AMC 12 第 31 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

31.

要使

x^2+2x+5

成为

x^4+px^2+q

的因式，

p

和

q

的值必须依次为：

For

x^2+2x+5

to be a factor of

x^4+px^2+q,

the values of

p

and

q

must be, respectively:

-2

，

5

-2,

5

5

，

25

5,

25

10

，

20

10,

20

6

，

25

6,

25

14

，

25

14,

25

答案：D

知识点：多项式代数变形因数

难度评级：1690

小提示：

对

x^2+2x+5

取模，于是

x^2=-2x-5

Work modulo

x^2+2x+5,

so

x^2=-2x-5

大提示：

将

x^4

化为一次式，并令余式的两个系数都为零

Reduce

x^4

to a linear expression and make both remainder coefficients zero

解答：

对

x^2+2x+5

取模，有

x^2=-2x-5

。于是

x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5\text{。}

因此

\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q) \end{gathered}\text{。}

当

p=6

且

q=25

时，两个系数都为零。

因此，正确答案是 D。

Modulo

x^2+2x+5,

we have

x^2=-2x-5.

Then

x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5.

Thus

\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q). \end{gathered}

Both coefficients vanish when

p=6

and

q=25.

Therefore, the correct answer is D.