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1972 AMC 12 第 31 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

31.

数

2^{1000}

除以

13

所得的余数为：

When the number

2^{1000}

is divided by

13,

the remainder in the division is:

1

2

3

7

11

答案：C

知识点：模运算模幂运算

难度评级：1740

小提示：

使用

2^6\equiv-1\pmod{13}

Use

2^6\equiv-1\pmod{13}

大提示：

写成

1000=6\cdot166+4

Write

1000=6\cdot166+4

解答：

因为

2^6=64\equiv-1\pmod{13}

，

\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Since

2^6=64\equiv-1\pmod{13},

\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.