1962 AMC 12 Problema 31

Question

La razón entre los ángulos interiores de dos polígonos regulares con lados de longitud unitaria es

3:2.

¿Cuántos pares de este tipo hay?

The ratio of the interior angles of two regular polygons with sides of unit length is

3:2.

How many such pairs are there?

1

2

3

4

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular suma de ángulos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Para un polígono de

n

lados, un ángulo interior mide

\frac{180^\circ(n-2)}{n}

For an

n

-gon, an interior angle is

\frac{180^\circ(n-2)}{n}

Pista grande:

Si el polígono menor tiene

n

lados, despeja el número de lados del mayor y prueba los enteros posibles

3\le n\lt6

If the smaller polygon has

n

sides, solve for the larger side count and test the possible integers

3\le n\lt6

Solución:

Sean

n

y

N

los números de lados de los polígonos menor y mayor. Entonces

\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,

de donde

N=\frac{4n}{6-n}.

La positividad y

N\gt n

exigen

n=3,

n=4,

o

n=5.

Estos valores dan

N=4,

N=8,

y

N=20,

respectivamente. Por tanto, hay

3

pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller and larger polygons have

n

and

N

sides. Then

\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,

which gives

N=\frac{4n}{6-n}.

Positivity and

N\gt n

require

n=3,

n=4,

or

n=5.

These give

N=4,

N=8,

and

N=20,

respectively. Thus there are

3

pairs.

Therefore, the correct answer is C.