1962 AMC 12 第 37 题

Question

ABCD

是边长为单位长度的正方形。分别在边

AB

和

AD

上取点

E

和

F

，使得

AE=AF

，且四边形

CDFE

的面积最大。以平方单位计，此最大面积为：

ABCD

is a square with side of unit length. Points

E

and

F

are taken respectively on sides

AB

and

AD

so that

AE=AF

and the quadrilateral

CDFE

has maximum area. In square units this maximum area is:

\dfrac12

\dfrac9{16}

\dfrac{19}{32}

\dfrac58

\dfrac23

答案：D

知识点：面积鞋带公式配方法最优化

难度评级：1730

小提示：

令

AE=AF=t

，并使用坐标法或鞋带公式

Let

AE=AF=t

and use coordinates or the shoelace formula

大提示：

面积化为

\frac12(1+t-t^2)

；再进行配方

The area becomes

\frac12(1+t-t^2)

; complete the square

解答：

令

A=(0,0)

、

B=(1,0)

、

C=(1,1)

且

D=(0,1)

。则

E=(t,0)

，且

F=(0,t)

。由鞋带公式得

\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2 \end{aligned}\text{。}

其最大值为

\frac{5}{8}

。

所以正确答案是 D。

Set

A=(0,0),

B=(1,0),

C=(1,1),

and

D=(0,1).

Then

E=(t,0)

and

F=(0,t).

The shoelace formula gives

\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}

Its maximum is

\frac{5}{8}.

Thus, the correct answer is D.

1962 AMC 12 第 37 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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