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1962 AMC 12 第 40 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

40.

无穷级数

\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots

的第

n

项为

\frac{n}{10^n}

，其极限和为：

The limiting sum of the infinite series

\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,

whose

n

th term is

\frac{n}{10^n},

is:

\dfrac19

\dfrac{10}{81}

\dfrac18

\dfrac{17}{72}

大于任何有限量

larger than any finite quantity

答案：B

知识点：差比数列微积分求和

难度评级：1570

小提示：

从

\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}

开始

Start from

\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}

大提示：

先求导，再乘以

x

Differentiate and then multiply by

x

解答：

当

|x|\lt1

时，

\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}\text{。}

取

x=\frac{1}{10}

，得到

\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}\text{。}

所以正确答案是 B。

For

|x|\lt1,

\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.

Taking

x=\frac{1}{10}

gives

\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.

Thus, the correct answer is B.

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