1964 AMC 12 第 36 题
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36.
在图中，圆的半径等于等边三角形 的高。让圆沿边 滚动，并始终在动点 处与该边相切，同时分别在动点 和 处与直线 和 相交。设弧 的度数为 。那么对于圆的所有允许位置，：
In this figure the radius of the circle is equal to the altitude of the equilateral triangle The circle is made to roll along the side remaining tangent to it at a variable point and intersecting lines and in variable points and respectively. Let be the number of degrees in arc Then for all permissible positions of the circle:
在 到 之间变化
varies from to
在 到 之间变化
varies from to
在 到 之间变化
varies from to
恒为
remains constant at
恒为
remains constant at
小提示：
圆心 和顶点 到 的距离都等于三角形的高，所以
The circle’s center and vertex are the same distance above , so
大提示：
延长 过 ，使其再次与圆交于 ，再利用关于直线 的反射
Extend through to meet the circle again at , then use reflection across line
解答：
设 为圆心。 和 到 的距离都等于三角形的高，所以 。延长 过 ，使其再次与圆交于 。由于 与 方向相反，平行于 的直线 平分这个角。关于 的反射使圆保持不变，并交换射线 与 ，所以也交换点 与 。因此 ，等腰三角形 的两个底角均为 。
由于 共线，。这个圆周角所对的是弧 ，因此在圆的每个允许位置，弧的度数都为 。
所以，正确答案是 E。
Let be the circle’s center. Both and are one triangle altitude above so Extend through to meet the circle again at Since is opposite to The line parallel to bisects this angle. Reflection across fixes the circle and interchanges rays and so it interchanges and Hence and isosceles triangle has base angles
Because are collinear, This inscribed angle subtends arc whose measure is therefore for every permissible circle position.
Thus, the correct answer is E.