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1965 AMC 12 第 31 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

31.

若

a

和

b

是不等于

1

的正常数，则满足等式

(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b

的实数

x

的个数为：

The number of real values of

x

satisfying the equality

(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,

where

a

and

b

are positive constants different from

1,

is:

0

1

2

一个大于

2

的整数

an integer greater than

2

不是有限数

not finite

答案：C

知识点：对数二次方程代数变形

难度评级：2000

小提示：

用自然对数表示每个对数

Write every logarithm with natural logs

大提示：

方程可化为

(\ln x)^2=(\ln b)^2

The equation reduces to

(\ln x)^2=(\ln b)^2

解答：

换底得

\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}\text{。}

由于各分母均不为零，

(\ln x)^2=(\ln b)^2

。因此

x=b

或

x=\frac{1}{b}

。因为

b\ne1

，这两个值互不相同，所以共有两个值。

因此，正确答案是 C。

Change of base gives

\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.

Since the denominators are nonzero,

(\ln x)^2=(\ln b)^2.

Thus

x=b

or

x=\frac{1}{b}.

These are distinct because

b\ne1,

so there are two values.

Therefore, the correct answer is C.