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1966 AMC 12 第 35 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

35.

设

O

为三角形

ABC

的内点，且

s_1=OA+OB+OC

。若

s_2=AB+BC+CA

，则：

Let

O

be an interior point of triangle

ABC,

and let

s_1=OA+OB+OC.

If

s_2=AB+BC+CA,

then:

对每个三角形，

s_1\gt\dfrac12s_2

，且

s_1\leq s_2

for every triangle

s_1\gt\dfrac12s_2,

and

s_1\leq s_2

对每个三角形，

s_1\geq\dfrac12s_2

，且

s_1\lt s_2

for every triangle

s_1\geq\dfrac12s_2,

and

s_1\lt s_2

对每个三角形，

s_1\gt\dfrac12s_2

，且

s_1\lt s_2

for every triangle

s_1\gt\dfrac12s_2,

and

s_1\lt s_2

对每个三角形，

s_1\geq\dfrac12s_2

，且

s_1\leq s_2

for every triangle

s_1\geq\dfrac12s_2,

and

s_1\leq s_2

(A)

、

(B)

、

(C)

、

(D)

均不适用于每个三角形

neither

(A)

nor

(B)

nor

(C)

nor

(D)

applies to every triangle

答案：C

知识点：极限情形界定三角不等式

难度评级：1880

小提示：

将

AB\lt OA+OB

、

BC\lt OB+OC

与

CA\lt OC+OA

相加

Add

AB\lt OA+OB,

BC\lt OB+OC,

and

CA\lt OC+OA

大提示：

将

AO

延长至边

BC

，证明

OA+OB\lt AC+CB

，再循环处理

Extend

AO

to side

BC

to prove

OA+OB\lt AC+CB,

and cycle

解答：

将三个严格的三角不等式

\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}

相加，得到

s_2\lt2s_1

。

为求上界，将

AO

延长至

BC

上的

D

。此时

AO+OD\lt AC+CD

，且

OB\lt OD+DB

，消去相同部分得

OA+OB\lt AC+CB

。循环处理并相加，得到

2s_1\lt2s_2

。因此

s_1\gt \frac{s_2}{2}

且

s_1\lt s_2

。

因此，正确答案是 C。

Adding the three strict triangle inequalities

\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}

gives

s_2\lt2s_1.

For the upper bound, extend

AO

to

D

on

BC.

Then

AO+OD\lt AC+CD

and

OB\lt OD+DB,

so cancellation gives

OA+OB\lt AC+CB.

Cycling and adding yields

2s_1\lt2s_2.

Therefore

s_1\gt \frac{s_2}{2}

and

s_1\lt s_2.

Thus, the correct answer is C.