1967 AMC 12 第 33 题

Question

图中分别以

AB

、

AC

和

CB

为直径作半圆，使它们两两相切。若

CD\perp AB

，则阴影面积与以

CD

为半径的圆面积之比为：

In this diagram semi-circles are constructed on diameters

AB,

AC,

and

CB,

so that they are mutually tangent. If

CD\perp AB,

then the ratio of the shaded area to the area of a circle with

CD

as radius is:

1:2

1:3

\sqrt3:7

1:4

\sqrt2:6

答案：D

知识点：圆面积直角三角形面积比

难度评级：1990

小提示：

用大半圆的面积减去两个小半圆的面积

Subtract the two small semicircle areas from the large one

大提示：

在直角三角形

ADB

中，高定理给出

CD^2=AC\cdot CB

In right triangle

ADB,

the altitude theorem gives

CD^2=AC\cdot CB

解答：

设

AC=u

、

CB=v

。阴影面积等于大半圆的面积减去两个小半圆的面积：

\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}\text{。}

因为

D

位于以

AB

为直径的半圆上，所以三角形

ADB

是直角三角形，且其高满足

CD^2=uv

。因此，以

CD

为半径的圆面积为

\pi uv

。所求比为

1:4

。

因此，正确答案是 D。

Let

AC=u

and

CB=v.

The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones:

\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.

Since

D

lies on the semicircle with diameter

AB,

triangle

ADB

is right, and its altitude satisfies

CD^2=uv.

A circle of radius

CD

therefore has area

\pi uv.

The required ratio is

1:4.

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 第 33 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题