1960 AMC 12 第 33 题

Question

给定一个含

58

项的数列；每一项都形如

P+n

，其中

P

表示所有不超过

61

的质数的乘积

2\cdot3\cdot5\cdots61

，而

n

依次取值

2

、

3

、

4

、

\ldots

、

59

。设该数列中质数的个数为

N

。则

N

是：

You are given a sequence of

58

terms; each term has the form

P+n

where

P

stands for the product

2\cdot3\cdot5\cdots61

of all prime numbers less than or equal to

61,

and

n

takes, successively, the values

2,

3,

4,

\ldots,

59.

Let

N

be the number of primes appearing in this sequence. Then

N

is:

0

16

17

57

58

答案：A

知识点：质数整除性质因数分解

难度评级：1500

小提示：

从

2

到

59

的每个

n

都有一个不超过

59

的质因子

Every

n

from

2

through

59

has a prime divisor at most

59

大提示：

同一个质因子同时整除

P

和

n

That same prime divisor divides both

P

and

n

解答：

对给定范围内的每个

n

，选择

n

的一个质因子

p

。由于

p\le59

，它是

P

的一个因子。因此

p

整除

P+n

。又因为

P+n>p

，所以

P+n

是合数。没有一项是质数，故

N=0

。

因此，正确答案是 A。

For each

n

in the given range, choose a prime divisor

p

of

n.

Since

p\le59,

it is one of the factors of

P.

Therefore

p

divides

P+n.

Moreover

P+n>p,

so

P+n

is composite. No term is prime, and

N=0.

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 33 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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