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1965 AMC 12 第 33 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

33.

数

15!

，即

15\cdot14\cdot13\cdots1

，用

12

进制表示时末尾有

k

个零，用

10

进制表示时末尾有

h

个零，则

k+h

等于：

If the number

15!,

that is,

15\cdot14\cdot13\cdots1,

ends with

k

zeros when given to the base

12

and ends with

h

zeros when given to the base

10,

then

k+h

equals:

5

6

7

8

9

答案：D

知识点：阶乘末尾零质因数分解进制

难度评级：2000

小提示：

计算

15!

中因数

2

、

3

和

5

的次数

Count the powers of

2,

3,

and

5

in

15!

大提示：

一个

12

进制末尾零需要

2^2\cdot3

，而一个

10

进制末尾零需要

2\cdot5

A base-

12

zero uses

2^2\cdot3

, while a base-

10

zero uses

2\cdot5

解答：

各素因数的次数为

\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3 \end{gathered}\text{。}

因此在

12

进制中

k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5

，在

10

进制中

h=\min(11,3)=3

。所以

k+h=8

。

因此，正确答案是 D。

The prime valuations are

\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}

Hence

k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5

in base

12,

and

h=\min(11,3)=3

in base

10.

Thus

k+h=8.

Therefore, the correct answer is D.