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1968 AMC 12 第 33 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

33.

数

N

用

7

进制表示时有三位。当

N

用

9

进制表示时，三个数字的顺序恰好颠倒。则中间一位数字为：

A number

N

has three digits when expressed in base

7.

When

N

is expressed in base

9

the digits are reversed. Then the middle digit is:

0

1

3

4

5

答案：A

知识点：进制位值丢番图方程

难度评级：2060

小提示：

设

7

进制的三位数字为

a

、

b

、

c

，令

49a+7b+c

等于

81c+9b+a

Call the base-

7

digits

a,

b,

c

and equate

49a+7b+c

to

81c+9b+a

大提示：

整理为

24a-b=40c

，并利用各数字的范围

Rearrange to

24a-b=40c

and use the digit bounds

解答：

设

N=(abc)_7=(cba)_9

。则

49a+7b+c=81c+9b+a

，所以

24a-b=40c

。在

1\leq a\leq6

、

0\leq b\leq6

且

1\leq c\leq6

的条件下，唯一可能是

a=5

、

c=3

、

b=0

。事实上，

(503)_7=(305)_9=248

。

因此，正确答案是 A。

Let

N=(abc)_7=(cba)_9.

Then

49a+7b+c=81c+9b+a,

so

24a-b=40c.

With

1\leq a\leq6,

0\leq b\leq6,

and

1\leq c\leq6,

the only possibility is

a=5,

c=3,

b=0.

Indeed,

(503)_7=(305)_9=248.

Therefore, the correct answer is A.