1958 AMC 12 第 33 题

Question

若方程

ax^2+bx+c=0

的一个根是另一个根的两倍，则系数

a

、

b

、

c

必须满足：

For one root of

ax^2+bx+c=0

to be double the other, the coefficients

a,

b,

c

must be related as follows:

4b^2=9c

2b^2=9ac

2b^2=9a

b^2-8ac=0

9b^2=2ac

将两根表示为

q

和

2q

Represent the two roots as

q

and

2q

对两根之和与积应用韦达定理，再消去

q

Apply Vieta’s formulas to their sum and product, then eliminate

q

设两根为

q

和

2q

。韦达定理给出

3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca\text{。}

第一个关系式平方后得

9q^2=\frac{b^2}{a^2}

。将其除以第二个关系式，得到

\frac92=\frac{b^2}{ac}\text{，}

即

2b^2=9ac

。

所以正确答案为 B。

Let the roots be

q

and

2q.

Vieta’s formulas give

3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca.

Squaring the first relation yields

9q^2=\frac{b^2}{a^2}.

Dividing this by the second relation gives

\frac92=\frac{b^2}{ac},

or

2b^2=9ac.

Therefore, the correct answer is B.

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