1950 AMC 12 Problema 38

Question

Si la expresión

\begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix}

tiene el valor

ab-cd

para todos los valores de

a,

b,

c,

y

d,

entonces la ecuación

\begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3

If the expression

\begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix}

has the value

ab-cd

for all values of

a,

b,

c,

and

d,

then the equation

\begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3

Se satisface para solo

1

valor de

x

Is satisfied for only

1

value of

x

Se satisface para

2

valores de

x

Is satisfied for

2

values of

x

No se satisface para ningún valor de

x

Is satisfied for no values of

x

Se satisface para una cantidad infinita de valores de

x

Is satisfied for an infinite number of values of

x

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: B

Conceptos:determinante cuadrática

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Aplica la regla dada para convertir el determinante en una ecuación cuadrática

Apply the given rule to turn the determinant into a quadratic equation

Pista grande:

La ecuación es

2x^2-x=3

The equation is

2x^2-x=3

Solución:

La regla dada convierte la ecuación en

(2x)(x)-(1)(x)=3,

o

2x^2-x-3=0.

Al factorizar se obtiene

(2x-3)(x+1)=0,

cuyas dos soluciones distintas son

x=\tfrac32

y

x=-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The given rule turns the equation into

(2x)(x)-(1)(x)=3,

or

2x^2-x-3=0.

Factoring gives

(2x-3)(x+1)=0,

whose two distinct solutions are

x=\tfrac32

and

x=-1.

Thus, the correct answer is B.