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Soluciones del 1950 AMC 12

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Si 6464 se divide en tres partes proporcionales a 2,2, 4,4, y 6,6, la parte menor es:
If 6464 is divided into three parts proportional to 2,2, 4,4, and 6,6, the smallest part is:
5135\dfrac{1}{3}
1111
102310\dfrac{2}{3}
55
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:razón y proporciónfracción
Nivel de dificultad: 840
Pista pequeña:
Suma los tres números de la razón para hallar el número total de partes iguales
Add the three numbers in the ratio to find the total number of equal shares
Pista grande:
La parte menor es 22+4+6\dfrac{2}{2+4+6} de 6464
The smallest part is 22+4+6\dfrac{2}{2+4+6} of 6464
Solución:
La razón contiene 2+4+6=122+4+6=12 partes iguales. Por lo tanto, la parte menor es 64(212)=323=1023. 64\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The ratio contains 2+4+6=122+4+6=12 equal shares. The smallest part is therefore 64(212)=323=1023. 64\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.
Thus, the correct answer is C.

2.

Sea R=gS−4.R=gS-4. Cuando S=8,S=8, se tiene R=16.R=16. Cuando S=10,S=10, RR es igual a:
Let R=gS−4.R=gS-4. When S=8,S=8, R=16.R=16. When S=10,S=10, RR is equal to:
1111
1414
2020
2121
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:ecuación linealsustitución
Nivel de dificultad: 870
Pista pequeña:
Sustituye primero los valores dados de RR y SS para determinar gg
First substitute the given values of RR and SS to determine gg
Pista grande:
El primer par de valores da 16=8g−416=8g-4
The first pair gives 16=8g−416=8g-4
Solución:
Al sustituir S=8S=8 y R=16R=16 se obtiene 16=8g−4,16=8g-4, de modo que g=52.g=\tfrac52. Por consiguiente, cuando S=10,S=10, R=52(10)−4=21. R=\frac52(10)-4=21.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Substituting S=8S=8 and R=16R=16 gives 16=8g−4,16=8g-4, so g=52.g=\tfrac52. Hence, when S=10,S=10, R=52(10)−4=21. R=\frac52(10)-4=21.
Thus, the correct answer is D.

3.

La suma de las raíces de la ecuación 4x2+5−8x=04x^2+5-8x=0 es igual a:
The sum of the roots of the equation 4x2+5−8x=04x^2+5-8x=0 is equal to:
88
−5-5
−54-\dfrac54
−2-2
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:Fórmulas de Vietacuadrática
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Reescribe la ecuación en potencias descendentes de xx
Rewrite the equation in descending powers of xx
Pista grande:
Para ax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0, la suma de las raíces es −ba-\frac{b}{a}
For ax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0, the sum of the roots is −ba-\frac{b}{a}
Solución:
En forma estándar, la ecuación es 4x2−8x+5=0.4x^2-8x+5=0. Por las fórmulas de Vieta, la suma de sus raíces es −−84=2. -\frac{-8}{4}=2. Este valor no aparece entre las opciones A a D.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
In standard form the equation is 4x2−8x+5=0.4x^2-8x+5=0. By Vieta’s formulas, the sum of its roots is −−84=2. -\frac{-8}{4}=2. This value is not among choices A through D.
Thus, the correct answer is E.

4.

Reducida a su mínima expresión, a2−b2ab−ab−b2ab−a2 \frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{ab-b^2}{ab-a^2} es igual a:
Reduced to lowest terms, a2−b2ab−ab−b2ab−a2 \frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{ab-b^2}{ab-a^2} is equal to:
ab\dfrac{a}{b}
a2−2b2ab\dfrac{a^2-2b^2}{ab}
a2a^2
a−2ba-2b
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:manipulación algebraicadiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Factoriza a2−b2,a^2-b^2, ab−b2,ab-b^2, y ab−a2ab-a^2
Factor a2−b2,a^2-b^2, ab−b2,ab-b^2, and ab−a2ab-a^2
Pista grande:
La segunda fracción se simplifica a −ba-\frac{b}{a}
The second fraction simplifies to −ba-\frac{b}{a}
Solución:
Al factorizar los numeradores y el denominador se obtiene a2−b2ab−ab−b2ab−a2=(ab−ba)−b(a−b)a(b−a)=ab−ba+ba=ab. \begin{aligned} &\frac{a^2-b^2}{ab} -\frac{ab-b^2}{ab-a^2}\\ &=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\\ &\quad-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\ &=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} +\frac{b}{a}\\ &=\frac{a}{b}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Factoring the numerators and denominator gives a2−b2ab−ab−b2ab−a2=(ab−ba)−b(a−b)a(b−a)=ab−ba+ba=ab. \begin{aligned} &\frac{a^2-b^2}{ab} -\frac{ab-b^2}{ab-a^2}\\ &=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\\ &\quad-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\ &=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} +\frac{b}{a}\\ &=\frac{a}{b}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is A.

5.

Si se insertan cinco medias geométricas entre 88 y 5832,5832, el quinto término de la sucesión geométrica es:
If five geometric means are inserted between 88 and 5832,5832, the fifth term in the geometric series is:
648648
832832
11681168
19441944
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:sucesión geométricaexponente
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Al insertar cinco medias, los números dados pasan a ser el primer y el séptimo término
Inserting five means makes the given numbers the first and seventh terms
Pista grande:
Si la razón común es q,q, entonces 8q6=58328q^6=5832
If the common ratio is q,q, then 8q6=58328q^6=5832
Solución:
Hay seis pasos de razón común desde el primer término 88 hasta el séptimo término 5832.5832. Por lo tanto, q6=58328=729=36, q^6=\frac{5832}{8}=729=3^6, así que la razón común positiva es q=3.q=3. El quinto término es 8q4=8⋅34=648. 8q^4=8\cdot3^4=648.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
There are six common-ratio steps from the first term 88 to the seventh term 5832.5832. Thus q6=58328=729=36, q^6=\frac{5832}{8}=729=3^6, so the positive common ratio is q=3.q=3. The fifth term is 8q4=8⋅34=648. 8q^4=8\cdot3^4=648.
Thus, the correct answer is A.

6.

Los valores de yy que satisfacen las ecuaciones
2x2+6x+5y+1=0,2x+y+3=0 \begin{aligned} 2x^2+6x+5y+1&=0,\\ 2x+y+3&=0 \end{aligned}
pueden hallarse resolviendo:
The values of yy which will satisfy the equations
2x2+6x+5y+1=0,2x+y+3=0 \begin{aligned} 2x^2+6x+5y+1&=0,\\ 2x+y+3&=0 \end{aligned}
may be found by solving:
y2+14y−7=0y^2+14y-7=0
y2+8y+1=0y^2+8y+1=0
y2+10y−7=0y^2+10y-7=0
y2+y−12=0y^2+y-12=0
Ninguna de las ecuaciones anteriores
None of the above equations
Conceptos:sistema de ecuacionessustitucióncuadrática
Nivel de dificultad: 1640
Pista pequeña:
Despeja xx en función de yy en la ecuación lineal
Solve the linear equation for xx in terms of yy
Pista grande:
Sustituye x=−(y+3)2x=-\frac{(y+3)}{2} en la primera ecuación y elimina el denominador
Substitute x=−(y+3)2x=-\frac{(y+3)}{2} into the first equation and clear the denominator
Solución:
De la segunda ecuación, x=−y+32.x=-\tfrac{y+3}{2}. Al sustituir en la primera ecuación y multiplicar por 22 se obtiene (y+3)2−6(y+3)+10y+2=0,y2+10y−7=0. \begin{aligned} &(y+3)^2-6(y+3)\\ &\quad+10y+2=0,\\ &y^2+10y-7=0. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
From the second equation, x=−y+32.x=-\tfrac{y+3}{2}. Substituting into the first equation and multiplying by 22 gives (y+3)2−6(y+3)+10y+2=0,y2+10y−7=0. \begin{aligned} &(y+3)^2-6(y+3)\\ &\quad+10y+2=0,\\ &y^2+10y-7=0. \end{aligned}
Thus, the correct answer is C.

7.

Si se coloca el dígito 11 después de un número de dos cifras cuya cifra de las decenas es t,t, y cuya cifra de las unidades es u,u, el nuevo número es:
If the digit 11 is placed after a two digit number whose tens’ digit is t,t, and units’ digit is u,u, the new number is:
10t+u+110t+u+1
100t+10u+1100t+10u+1
1000t+10u+11000t+10u+1
t+u+1t+u+1
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:valor posicionaldígitos
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
El número original de dos cifras es 10t+u10t+u
The original two digit number is 10t+u10t+u
Pista grande:
Añadir una cifra al final multiplica primero el número original por 1010 y luego suma esa cifra
Appending a digit multiplies the original number by 1010 before adding that digit
Solución:
El número de dos cifras es 10t+u.10t+u. Al colocar 11 después de él se obtiene 10(10t+u)+1=100t+10u+1. \begin{aligned} &10(10t+u)+1\\ &=100t+10u+1. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The two digit number is 10t+u.10t+u. Placing 11 after it produces 10(10t+u)+1=100t+10u+1. \begin{aligned} &10(10t+u)+1\\ &=100t+10u+1. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.

8.

Si el radio de un círculo aumenta 100%,100\%, el área aumenta:
If the radius of a circle is increased 100%,100\%, the area is increased:
100%100\%
200%200\%
300%300\%
400%400\%
En ninguna de estas cantidades
By none of these
Conceptos:área del círculoporcentajeescalamiento de potencias de longitud, área y volumen
Nivel de dificultad: 1220
Pista pequeña:
Un aumento de 100%100\% duplica el radio
An increase of 100%100\% doubles the radius
Pista grande:
El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio
Circle area is proportional to the square of the radius
Solución:
Al aumentar rr en 100%,100\%, se convierte en 2r.2r. El área cambia de πr2\pi r^2 a π(2r)2=4πr2,\pi(2r)^2=4\pi r^2, un aumento de 3πr2.3\pi r^2. Esto es el 300%300\% del área original.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Increasing rr by 100%100\% changes it to 2r.2r. The area changes from πr2\pi r^2 to π(2r)2=4πr2,\pi(2r)^2=4\pi r^2, an increase of 3πr2.3\pi r^2. This is 300%300\% of the original area.
Thus, the correct answer is C.

9.

El área del triángulo más grande que puede inscribirse en un semicírculo de radio rr es:
The area of the largest triangle that can be inscribed in a semicircle whose radius is rr is:
r2r^2
r3r^3
2r22r^2
2r32r^3
12r2\dfrac12r^2
Conceptos:área del triángulocírculooptimización
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
La base más larga posible es el diámetro del semicírculo
The longest possible base is the diameter of the semicircle
Pista grande:
Con el diámetro como base, la mayor altura posible es el radio
With the diameter as base, the greatest possible altitude is the radius
Solución:
Un triángulo en el semicírculo tiene una base no mayor que el diámetro 2r2r y una altura no mayor que r.r. Por lo tanto, su área es como máximo 12(2r)(r)=r2. \frac12(2r)(r)=r^2. Este máximo se alcanza al usar el diámetro como base y el punto más alto del semicírculo como tercer vértice.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
A triangle in the semicircle has base at most the diameter 2r2r and altitude at most r.r. Therefore its area is at most 12(2r)(r)=r2. \frac12(2r)(r)=r^2. This bound is attained by using the diameter as the base and the topmost point of the semicircle as the third vertex.
Thus, the correct answer is A.

10.

Después de racionalizar el numerador de 3−23,\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3}, el denominador en su forma más simple es:
After rationalizing the numerator of 3−23,\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3}, the denominator in simplest form is:
3(3+2)\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)
3(3−2)\sqrt3(\sqrt3-\sqrt2)
3−323-\sqrt3\sqrt2
3+63+\sqrt6
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:racionalización del denominadorradical
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del numerador
Multiply the numerator and denominator by the conjugate of the numerator
Pista grande:
El numerador se convierte en (3−2)(3+2)=1(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1
The numerator becomes (3−2)(3+2)=1(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1
Solución:
Al multiplicar por el conjugado del numerador se obtiene 3−23⋅3+23+2=13(3+2)=13+6. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\\ &=\frac{1}{\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}\\ &=\frac{1}{3+\sqrt6}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Multiplying by the conjugate of the numerator gives 3−23⋅3+23+2=13(3+2)=13+6. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\\ &=\frac{1}{\sqrt3(\sqrt3+\sqrt2)}\\ &=\frac{1}{3+\sqrt6}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D.

11.

Si en la fórmula C=enR+nr,C=\dfrac{en}{R+nr}, se aumenta nn mientras e,e, R,R, y rr permanecen constantes, entonces C:C:
If in the formula C=enR+nr,C=\dfrac{en}{R+nr}, nn is increased while e,e, R,R, and rr are kept constant, then C:C:
Disminuye
Decreases
Aumenta
Increases
Permanece constante
Remains constant
Aumenta y luego disminuye
Increases and then decreases
Disminuye y luego aumenta
Decreases and then increases
Conceptos:funciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Divide el numerador y el denominador entre nn
Divide the numerator and denominator by nn
Pista grande:
Cuando el valor positivo nn aumenta, Rn\frac{R}{n} disminuye
As positive nn grows, Rn\frac{R}{n} decreases
Solución:
Reescribe la fórmula como C=eRn+r. C=\frac{e}{\frac{R}{n}+r}. Cuando el valor positivo nn aumenta, Rn\frac{R}{n} disminuye, por lo que el denominador positivo disminuye mientras el numerador permanece fijo. Por consiguiente, CC aumenta.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Rewrite the formula as C=eRn+r. C=\frac{e}{\frac{R}{n}+r}. As positive nn increases, Rn\frac{R}{n} decreases, so the positive denominator decreases while the numerator remains fixed. Therefore CC increases.
Thus, the correct answer is B.

12.

A medida que el número de lados de un polígono aumenta de 33 a n,n, la suma de los ángulos exteriores formados al prolongar sucesivamente cada lado:
As the number of sides of a polygon increases from 33 to n,n, the sum of the exterior angles formed by extending each side in succession:
Aumenta
Increases
Disminuye
Decreases
Permanece constante
Remains constant
No puede predecirse
Cannot be predicted
Se convierte en (n−3)(n-3) ángulos llanos
Becomes (n−3)(n-3) straight angles
Conceptos:suma de ángulos
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Imagina recorrer una vez todo el contorno del polígono
Imagine walking once around the boundary of the polygon
Pista grande:
Los ángulos exteriores representan una vuelta completa
The exterior angles record one complete turn
Solución:
Al recorrer el polígono y girar en cada ángulo exterior se completa una vuelta. Por ello, la suma siempre es 360∘,360^\circ, independientemente del número de lados.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Traversing the polygon and turning through each exterior angle makes one complete turn. Hence the sum is always 360∘,360^\circ, independent of the number of sides.
Thus, the correct answer is C.

13.

Las raíces de (x2−3x+2)(x)(x−4)=0(x^2-3x+2)(x)(x-4)=0 son:
The roots of (x2−3x+2)(x)(x−4)=0(x^2-3x+2)(x)(x-4)=0 are:
44
00 y 44
00 and 44
11 y 22
11 and 22
0,0, 1,1, 2,2, y 44
0,0, 1,1, 2,2, and 44
1,1, 2,2, y 44
1,1, 2,2, and 44
Conceptos:factorizaciónpropiedad del producto nulocuadrática
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Factoriza el factor cuadrático
Factor the quadratic factor
Pista grande:
Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero
A product is zero when at least one of its factors is zero
Solución:
Como x2−3x+2=(x−1)(x−2),x^2-3x+2=(x-1)(x-2), la ecuación se convierte en (x−1)(x−2)x(x−4)=0. (x-1)(x-2)x(x-4)=0. Sus raíces son 0,0, 1,1, 2,2, y 4.4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since x2−3x+2=(x−1)(x−2),x^2-3x+2=(x-1)(x-2), the equation becomes (x−1)(x−2)x(x−4)=0. (x-1)(x-2)x(x-4)=0. Its roots are 0,0, 1,1, 2,2, and 4.4.
Thus, the correct answer is D.

14.

Para el sistema de ecuaciones
2x−3y=8,6y−4x=9, \begin{aligned} 2x-3y&=8,\\ 6y-4x&=9, \end{aligned}
For the simultaneous equations
2x−3y=8,6y−4x=9, \begin{aligned} 2x-3y&=8,\\ 6y-4x&=9, \end{aligned}
x=4,x=4, y=0y=0
x=0,x=0, y=32y=\dfrac32
x=0,x=0, y=0y=0
No hay solución
There is no solution
Hay infinitas soluciones
There are an infinite number of solutions
Conceptos:sistema de ecuacionesecuación lineal
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Compara el lado izquierdo de la segunda ecuación con el de la primera
Compare the left side of the second equation with the left side of the first
Pista grande:
Multiplicar la primera ecuación por −2-2 exigiría que el segundo lado derecho fuera −16-16
Multiplying the first equation by −2-2 would require the second right side to be −16-16
Solución:
El lado izquierdo de la segunda ecuación es −2(2x−3y).-2(2x-3y). Si la primera ecuación se cumple, esa expresión debe ser igual a −2⋅8=−16,-2\cdot8=-16, pero la segunda ecuación afirma que es igual a 9.9. Esta contradicción significa que ningún par ordenado satisface ambas ecuaciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The left side of the second equation is −2(2x−3y).-2(2x-3y). If the first equation holds, that expression must equal −2⋅8=−16,-2\cdot8=-16, but the second equation says it equals 9.9. This contradiction means that no ordered pair satisfies both equations.
Thus, the correct answer is D.

15.

Los factores reales de x2+4x^2+4 son:
The real factors of x2+4x^2+4 are:
(x2+2)(x2+2)(x^2+2)(x^2+2)
(x2+2)(x2−2)(x^2+2)(x^2-2)
x2(x2+4)x^2(x^2+4)
(x2−2x+2)(x2+2x+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)
No existen
Non-existent
Conceptos:factorizaciónnúmero complejocuadrática
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Un factor lineal real correspondería a una raíz real
A real linear factor would correspond to a real root
Pista grande:
Resolver x2+4=0x^2+4=0 exige que x2=−4x^2=-4
Solving x2+4=0x^2+4=0 requires x2=−4x^2=-4
Solución:
Un factor lineal real produciría una raíz real. Pero x2+4=0x^2+4=0 implica x2=−4,x^2=-4, que no tiene solución real. Por consiguiente, el polinomio no tiene factores lineales reales.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
A real linear factor would give a real root. But x2+4=0x^2+4=0 implies x2=−4,x^2=-4, which has no real solution. Therefore the polynomial has no real linear factors.
Thus, the correct answer is E.

16.

El número de términos de la expansión simplificada de [(a+3b)2(a−3b)2]2\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2 es:
The number of terms in the expansion of [(a+3b)2(a−3b)2]2\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2 when simplified is:
44
55
66
77
88
Conceptos:diferencia de cuadradosteorema del binomio
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Combina a+3ba+3b y a−3ba-3b antes de desarrollar
Combine a+3ba+3b and a−3ba-3b before expanding
Pista grande:
La expresión se simplifica a (a2−9b2)4(a^2-9b^2)^4
The expression simplifies to (a2−9b2)4(a^2-9b^2)^4
Solución:
Usando la diferencia de cuadrados, [(a+3b)2(a−3b)2]2=[(a2−9b2)2]2=(a2−9b2)4. \begin{aligned} &\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2\\ &=\big[(a^2-9b^2)^2\big]^2\\ &=(a^2-9b^2)^4. \end{aligned} Su expansión binomial tiene un término no nulo para cada elección del exponente 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4, por lo que tiene cinco términos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Using the difference of squares, [(a+3b)2(a−3b)2]2=[(a2−9b2)2]2=(a2−9b2)4. \begin{aligned} &\big[(a+3b)^2(a-3b)^2\big]^2\\ &=\big[(a^2-9b^2)^2\big]^2\\ &=(a^2-9b^2)^4. \end{aligned} Its binomial expansion has one nonzero term for each exponent choice 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4, so it has five terms.
Thus, the correct answer is B.

17.

La fórmula que expresa la relación entre xx y yy mostrada en la tabla es:
x01234y1009070400 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4\\ \hline y&100&90&70&40&0\\ \hline \end{array}
The formula which expresses the relationship between xx and yy as shown in the accompanying table is:
x01234y1009070400 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4\\ \hline y&100&90&70&40&0\\ \hline \end{array}
y=100−10xy=100-10x
y=100−5x2y=100-5x^2
y=100−5x−5x2y=100-5x-5x^2
y=20−x−x2y=20-x-x^2
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:funciónsustitucióncuadrática
Nivel de dificultad: 1360
Pista pequeña:
Sustituye en cada fórmula propuesta un valor pequeño y no nulo de la tabla, como x=1x=1
Substitute a small nonzero table value such as x=1x=1 into each proposed formula
Pista grande:
Luego verifica la fórmula restante con x=2x=2 o x=3x=3
Then verify the surviving formula with x=2x=2 or x=3x=3
Solución:
Para x=1,x=1, las opciones A y C dan 90,90, mientras que B da 9595 y D da 18.18. Al probar las dos opciones restantes con x=2,x=2, la opción A da 80,80, mientras que la opción C da 100−5(2)−5(22)=70, 100-5(2)-5(2^2)=70, que coincide con la tabla.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
At x=1,x=1, choices A and C both give 90,90, while B gives 9595 and D gives 18.18. Testing the two survivors at x=2,x=2, choice A gives 80,80, whereas choice C gives 100−5(2)−5(22)=70, 100-5(2)-5(2^2)=70, matching the table.
Thus, the correct answer is C.

18.

De las siguientes igualdades
(1)a(x−y)=ax−ay(1)\quad a(x-y)=ax-ay
(2)ax−y=ax−ay(2)\quad a^{x-y}=a^x-a^y
(3)log⁡(x−y)=log⁡x−log⁡y(3)\quad \log(x-y)=\log x-\log y
(4)log⁡xlog⁡y=log⁡x−log⁡y(4)\quad \dfrac{\log x}{\log y}=\log x-\log y
(5)a(xy)=ax×ay(5)\quad a(xy)=ax\times ay
Of the following
(1)a(x−y)=ax−ay(1)\quad a(x-y)=ax-ay
(2)ax−y=ax−ay(2)\quad a^{x-y}=a^x-a^y
(3)log⁡(x−y)=log⁡x−log⁡y(3)\quad \log(x-y)=\log x-\log y
(4)log⁡xlog⁡y=log⁡x−log⁡y(4)\quad \dfrac{\log x}{\log y}=\log x-\log y
(5)a(xy)=ax×ay(5)\quad a(xy)=ax\times ay
Solo 11 y 44 son verdaderas
Only 11 and 44 are true
Solo 11 y 55 son verdaderas
Only 11 and 55 are true
Solo 11 y 33 son verdaderas
Only 11 and 33 are true
Solo 11 y 22 son verdaderas
Only 11 and 22 are true
Solo 11 es verdadera
Only 11 is true
Conceptos:propiedad distributivaexponentelogaritmo
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Compara cada igualdad con las reglas usuales de los exponentes y los logaritmos
Compare each statement with the standard rules for exponents and logarithms
Pista grande:
En particular, una resta dentro de un exponente o logaritmo no se distribuye como está escrito
In particular, subtraction inside an exponent or logarithm does not distribute as written
Solución:
La igualdad 11 es la propiedad distributiva. La igualdad 22 es falsa porque ax−y=axay.a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}. La igualdad 33 es falsa porque log⁡x−log⁡y=log⁡(xy).\log x-\log y=\log(\frac{x}{y}). La igualdad 44 confunde el cociente de cambio de base con una diferencia, y el lado derecho de la igualdad 55 es a2xy,a^2xy, no axy.axy.
Por lo tanto, solo la igualdad 11 es verdadera, así que la respuesta correcta es E.
Statement 11 is the distributive property. Statement 22 is false because ax−y=axay.a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}. Statement 33 is false because log⁡x−log⁡y=log⁡(xy).\log x-\log y=\log(\frac{x}{y}). Statement 44 confuses the change-of-base quotient with a difference, and statement 55 has right side a2xy,a^2xy, not axy.axy.
Thus, only statement 11 is true, so the correct answer is E.

19.

Si mm hombres pueden realizar un trabajo en dd días, entonces m+rm+r hombres pueden realizarlo en:
If mm men can do a job in dd days, then m+rm+r men can do the job in:
d+rd+r días
d+rd+r days
d−rd-r días
d−rd-r days
mdm+r\dfrac{md}{m+r} días
mdm+r\dfrac{md}{m+r} days
dm+r\dfrac{d}{m+r} días
dm+r\dfrac{d}{m+r} days
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:tasarazón y proporción
Nivel de dificultad: 1220
Pista pequeña:
Mide el trabajo total en jornadas-hombre
Measure the total job in man-days
Pista grande:
El grupo original realiza mdmd jornadas-hombre de trabajo
The original crew performs mdmd man-days of work
Solución:
El trabajo requiere m⋅d=mdm\cdot d=md jornadas-hombre. Con m+rm+r hombres trabajando al mismo ritmo individual, el número de días necesario es mdm+r. \frac{md}{m+r}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The job requires m⋅d=mdm\cdot d=md man-days. With m+rm+r men working at the same individual rate, the required number of days is mdm+r. \frac{md}{m+r}.
Thus, the correct answer is C.

20.

Al dividir x13+1x^{13}+1 entre x−1,x-1, el residuo es:
When x13+1x^{13}+1 is divided by x−1,x-1, the remainder is:
11
−1-1
00
22
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:polinomiosustitución
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:
Usa el teorema del residuo
Use the Remainder Theorem
Pista grande:
Para dividir entre x−1,x-1, evalúa el polinomio en x=1x=1
For division by x−1,x-1, evaluate the polynomial at x=1x=1
Solución:
Por el teorema del residuo, el residuo al dividir entre x−1x-1 es el valor del polinomio en x=1.x=1. Este valor es 113+1=2. 1^{13}+1=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
By the Remainder Theorem, the remainder upon division by x−1x-1 is the value of the polynomial at x=1.x=1. This value is 113+1=2. 1^{13}+1=2.
Thus, the correct answer is D.

21.

El volumen de un prisma rectangular cuyas caras lateral, frontal e inferior tienen áreas de 1212 pulgadas cuadradas, 88 pulgadas cuadradas y 66 pulgadas cuadradas, respectivamente, es:
The volume of a rectangular solid each of whose side, front, and bottom faces are 1212 square inches, 88 square inches, and 66 square inches respectively is:
576576 pulgadas cúbicas
576576 cubic inches
2424 pulgadas cúbicas
2424 cubic inches
99 pulgadas cúbicas
99 cubic inches
104104 pulgadas cúbicas
104104 cubic inches
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:prisma rectangularvolumenárea
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Sean x,x, y,y, y zz las longitudes de las tres aristas
Let the three edge lengths be x,x, y,y, and zz
Pista grande:
El producto de las áreas de las tres caras es (xyz)2(xyz)^2
Multiplying the three face areas gives (xyz)2(xyz)^2
Solución:
Si las longitudes de las aristas son x,x, y,y, y z,z, entonces las áreas de las tres caras son xy,xy, yz,yz, y xz.xz. Así, (xyz)2=(xy)(yz)(xz)=12⋅8⋅6=576. \begin{aligned} (xyz)^2&=(xy)(yz)(xz)\\ &=12\cdot8\cdot6=576. \end{aligned} Como el volumen es positivo, xyz=576=24xyz=\sqrt{576}=24 pulgadas cúbicas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If the edge lengths are x,x, y,y, and z,z, then the three face areas are xy,xy, yz,yz, and xz.xz. Therefore (xyz)2=(xy)(yz)(xz)=12⋅8⋅6=576. \begin{aligned} (xyz)^2&=(xy)(yz)(xz)\\ &=12\cdot8\cdot6=576. \end{aligned} Since the volume is positive, xyz=576=24xyz=\sqrt{576}=24 cubic inches.
Thus, the correct answer is B.

22.

Los descuentos sucesivos de 10%10\% y 20%20\% equivalen a un único descuento de:
Successive discounts of 10%10\% and 20%20\% are equivalent to a single discount of:
30%30\%
15%15\%
72%72\%
28%28\%
Ninguno de estos
None of these
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 1100
Pista pequeña:
Aplica ambos descuentos a un precio de 100100
Apply both discounts to a price of 100100
Pista grande:
Después del primer descuento, el segundo se calcula sobre 90,90, no sobre 100100
After the first discount, the second discount is taken from 90,90, not from 100100
Solución:
Partiendo de un precio de 100,100, el primer descuento deja 90.90. El segundo descuento deja 0.8(90)=72.0.8(90)=72. Así, la reducción total es 100−72=28,100-72=28, o 28%.28\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Starting from a price of 100,100, the first discount leaves 90.90. The second discount leaves 0.8(90)=72.0.8(90)=72. The total reduction is therefore 100−72=28,100-72=28, or 28%.28\%.
Thus, the correct answer is D.

23.

Un hombre compra una casa por $10,000\$10{,}000 y la alquila. Aparta 1212%12\dfrac12\% de la renta de cada mes para reparaciones y mantenimiento, paga $325\$325 de impuestos al año y obtiene un rendimiento de 512%5\dfrac12\% sobre su inversión. La renta mensual es:
A man buys a house for $10,000\$10{,}000 and rents it. He puts 1212%12\dfrac12\% of each month’s rent aside for repairs and upkeep; pays $325\$325 a year taxes and realizes 512%5\dfrac12\% on his investment. The monthly rent is:
$64.82\$64.82
$83.33\$83.33
$72.08\$72.08
$45.83\$45.83
$177.08\$177.08
Conceptos:dineroporcentajeecuación lineal
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:
Sea rr la renta mensual y expresa la renta anual como 12r12r
Let rr be the monthly rent and express the annual rent as 12r12r
Pista grande:
Después del mantenimiento y los impuestos, el rendimiento anual debe ser 5.5%5.5\% de $10,000\$10,000
After upkeep and taxes, the annual return must be 5.5%5.5\% of $10,000\$10,000
Solución:
Sea la renta mensual rr dólares. La renta anual es 12r,12r, de la cual queda 1−0.125=781-0.125=\tfrac78 después de apartar el dinero para mantenimiento. El rendimiento anual deseado es 0.055(10,000)=5500.055(10,000)=550 dólares, así que 78(12r)−325=550. \frac78(12r)-325=550. Por consiguiente, 10.5r=875,10.5r=875, lo que da r=83.3‾,r=83.\overline3, es decir, $83.33\$83.33 al centavo más cercano.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the monthly rent be rr dollars. The yearly rent is 12r,12r, of which 1−0.125=781-0.125=\tfrac78 remains after setting aside the upkeep money. The desired yearly return is 0.055(10,000)=5500.055(10,000)=550 dollars, so 78(12r)−325=550. \frac78(12r)-325=550. Hence 10.5r=875,10.5r=875, giving r=83.3‾,r=83.\overline3, which is $83.33\$83.33 to the nearest cent.
Thus, the correct answer is B.

24.

La ecuación x+x−2=4x+\sqrt{x-2}=4 tiene:
The equation x+x−2=4x+\sqrt{x-2}=4 has:
22 raíces reales
22 real roots
11 raíz real y 11 raíz imaginaria
11 real and 11 imaginary root
22 raíces imaginarias
22 imaginary roots
Ninguna raíz
No roots
11 raíz real
11 real root
Conceptos:radicalcuadráticasustitución
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Aísla la raíz cuadrada antes de elevar al cuadrado
Isolate the square root before squaring
Pista grande:
Comprueba en la ecuación original cada raíz de la cuadrática resultante
Check every root of the resulting quadratic in the original equation
Solución:
Al aislar y elevar al cuadrado se obtiene x−2=4−x,x−2=(4−x)2,x2−9x+18=0. \begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned} Las raíces de la cuadrática son 33 y 6.6. El valor 33 satisface la ecuación original, pero 66 da 6+4=8,6+\sqrt4=8, por lo que es una raíz extraña.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Isolating and squaring gives x−2=4−x,x−2=(4−x)2,x2−9x+18=0. \begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned} The quadratic roots are 33 and 6.6. The value 33 satisfies the original equation, but 66 gives 6+4=8,6+\sqrt4=8, so it is extraneous.
Thus, the correct answer is E.

25.

El valor de log⁡5(125)(625)25\log_5\dfrac{(125)(625)}{25} es igual a:
The value of log⁡5(125)(625)25\log_5\dfrac{(125)(625)}{25} is equal to:
725725
66
31253125
55
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:logaritmoexponente
Nivel de dificultad: 1320
Pista pequeña:
Escribe 125,125, 625,625, y 2525 como potencias de 55
Write 125,125, 625,625, and 2525 as powers of 55
Pista grande:
El argumento del logaritmo se simplifica a 53+4−25^{3+4-2}
The logarithm’s argument simplifies to 53+4−25^{3+4-2}
Solución:
Como 125=53,125=5^3, 625=54,625=5^4, y 25=52,25=5^2, log⁡5(125)(625)25=log⁡5(53+4−2)=log⁡5(55)=5. \begin{aligned} &\log_5\frac{(125)(625)}{25}\\ &=\log_5\left(5^{3+4-2}\right)\\ &=\log_5(5^5)=5. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since 125=53,125=5^3, 625=54,625=5^4, and 25=52,25=5^2, log⁡5(125)(625)25=log⁡5(53+4−2)=log⁡5(55)=5. \begin{aligned} &\log_5\frac{(125)(625)}{25}\\ &=\log_5\left(5^{3+4-2}\right)\\ &=\log_5(5^5)=5. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D.

26.

Si log⁡10m=b−log⁡10n,\log_{10}m=b-\log_{10}n, entonces m=m=
If log⁡10m=b−log⁡10n,\log_{10}m=b-\log_{10}n, then m=m=
bn\dfrac{b}{n}
bnbn
10bn10^bn
b−10nb-10^n
10bn\dfrac{10^b}{n}
Conceptos:logaritmomanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Pasa log⁡10n\log_{10}n al lado izquierdo
Move log⁡10n\log_{10}n to the left side
Pista grande:
Combina los dos logaritmos y luego exponencia con base 1010
Combine the two logarithms and then exponentiate with base 1010
Solución:
Al reordenar y usar la regla del producto de los logaritmos se obtiene log⁡10m+log⁡10n=log⁡10(mn)=b. \begin{aligned} &\log_{10}m+\log_{10}n\\ &=\log_{10}(mn)=b. \end{aligned} De aquí, mn=10b,mn=10^b, así que m=10bn.m=\dfrac{10^b}{n}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Rearranging and using the product rule for logarithms gives log⁡10m+log⁡10n=log⁡10(mn)=b. \begin{aligned} &\log_{10}m+\log_{10}n\\ &=\log_{10}(mn)=b. \end{aligned} Therefore mn=10b,mn=10^b, so m=10bn.m=\dfrac{10^b}{n}.
Thus, the correct answer is E.

27.

Un automóvil recorre 120120 millas de AA a BB a 3030 millas por hora, pero regresa la misma distancia a 4040 millas por hora. La velocidad media del viaje de ida y vuelta es más cercana a:
A car travels 120120 miles from AA to BB at 3030 miles per hour but returns the same distance at 4040 miles per hour. The average speed for the round trip is closest to:
3333 millas por hora
3333 mph
3434 millas por hora
3434 mph
3535 millas por hora
3535 mph
3636 millas por hora
3636 mph
3737 millas por hora
3737 mph
Conceptos:distancia, velocidad y tiempoestimación
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
La velocidad media es la distancia total dividida entre el tiempo total
Average speed is total distance divided by total time
Pista grande:
Los dos trayectos duran 12030\frac{120}{30} y 12040\frac{120}{40} horas
The two legs take 12030\frac{120}{30} and 12040\frac{120}{40} hours
Solución:
La distancia total es 240240 millas. Los tiempos de viaje son 44 horas y 33 horas, por lo que la velocidad media, en millas por hora, es 2404+3=2407≈34.29 \frac{240}{4+3}=\frac{240}{7}\approx34.29 Este valor es más cercano a 3434 millas por hora.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The total distance is 240240 miles. The travel times are 44 hours and 33 hours, so the average speed, in miles per hour, is 2404+3=2407≈34.29 \frac{240}{4+3}=\frac{240}{7}\approx34.29 which is closest to 3434 mph.
Thus, the correct answer is B.

28.

Dos muchachos, AA y B,B, salen al mismo tiempo en bicicleta de Port Jervis hacia Poughkeepsie, a 6060 millas de distancia. AA viaja 44 millas por hora más despacio que B.B. BB llega a Poughkeepsie y regresa de inmediato, encontrándose con AA a 1212 millas de Poughkeepsie. La velocidad de AA era:
Two boys AA and BB start at the same time to ride from Port Jervis to Poughkeepsie, 6060 miles away. AA travels 44 miles an hour slower than B.B. BB reaches Poughkeepsie and at once turns back meeting AA 1212 miles from Poughkeepsie. The rate of AA was:
44 millas por hora
44 mph
88 millas por hora
88 mph
1212 millas por hora
1212 mph
1616 millas por hora
1616 mph
2020 millas por hora
2020 mph
Conceptos:distancia, velocidad y tiempovelocidad relativarazón y proporción
Nivel de dificultad: 1640
Pista pequeña:
Para el momento del encuentro, AA ha recorrido 4848 millas
By the meeting time, AA has traveled 4848 miles
Pista grande:
En el mismo tiempo, BB ha recorrido 60+12=7260+12=72 millas
In the same time, BB has traveled 60+12=7260+12=72 miles
Solución:
En el punto de encuentro, AA ha recorrido 60−12=4860-12=48 millas y BB ha recorrido 60+12=7260+12=72 millas. Como sus tiempos de viaje son iguales, sus velocidades están en la razón 48:72=2:3.48:72=2:3. Si la velocidad de AA es v,v, entonces la de BB es v+4,v+4, de modo que vv+4=23. \frac{v}{v+4}=\frac23. De aquí, 3v=2v+8,3v=2v+8, y v=8v=8 millas por hora.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
At the meeting point, AA has traveled 60−12=4860-12=48 miles and BB has traveled 60+12=7260+12=72 miles. Since their travel times are equal, their speeds are in the ratio 48:72=2:3.48:72=2:3. If AA’s speed is v,v, then BB’s is v+4,v+4, so vv+4=23. \frac{v}{v+4}=\frac23. Thus 3v=2v+8,3v=2v+8, and v=8v=8 mph.
Thus, the correct answer is B.

29.

Un fabricante construyó una máquina que escribe direcciones en 500500 sobres en 88 minutos. Desea construir otra máquina para que, al funcionar juntas, escriban direcciones en 500500 sobres en 22 minutos. La ecuación que permite hallar cuántos minutos xx necesitaría la segunda máquina para completar por sí sola 500500 sobres es:
A manufacturer built a machine which will address 500500 envelopes in 88 minutes. He wishes to build another machine so that when both are operating together they will address 500500 envelopes in 22 minutes. The equation used to find how many minutes xx it would require the second machine to address 500500 envelopes alone is:
8−x=28-x=2
18+1x=12\dfrac18+\dfrac1x=\dfrac12
5008+500x=500\dfrac{500}{8}+\dfrac{500}{x}=500
x2+x8=1\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{8}=1
Ninguna de estas respuestas
None of these answers
Conceptos:tasaecuación racional
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Mide la tasa de cada máquina en lotes de 500500 sobres por minuto
Measure each machine’s rate in batches of 500500 envelopes per minute
Pista grande:
Las dos tasas individuales deben sumar la tasa conjunta
The two individual rates must add to the combined rate
Solución:
La primera máquina completa 18\tfrac18 de un lote de 500500 sobres por minuto, y la segunda completa 1x\tfrac1x de un lote por minuto. Juntas deben completar 12\tfrac12 de un lote por minuto. Por consiguiente, la ecuación requerida es 18+1x=12. \frac18+\frac1x=\frac12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The first machine completes 18\tfrac18 of a 500500-envelope batch per minute, and the second completes 1x\tfrac1x of a batch per minute. Together they must complete 12\tfrac12 of a batch per minute. Therefore the required equation is 18+1x=12. \frac18+\frac1x=\frac12.
Thus, the correct answer is B.

30.

De un grupo de muchachos y muchachas se van 1515 muchachas. Quedan entonces dos muchachos por cada muchacha. Después se van 4545 muchachos. Quedan entonces 55 muchachas por cada muchacho. El número inicial de muchachas era:
From a group of boys and girls, 1515 girls leave. There are then left two boys for each girl. After this 4545 boys leave. There are then 55 girls for each boy. The number of girls in the beginning was:
4040
4343
2929
5050
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:sistema de ecuacionesrazón y proporción
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Sean GG y BB las cantidades iniciales de muchachas y muchachos
Let GG and BB be the original numbers of girls and boys
Pista grande:
Traduce las dos razones como B=2(G−15)B=2(G-15) y G−15=5(B−45)G-15=5(B-45)
Translate the two ratios as B=2(G−15)B=2(G-15) and G−15=5(B−45)G-15=5(B-45)
Solución:
Sean las cantidades iniciales GG muchachas y BB muchachos. Las dos condiciones dan B=2(G−15),G−15=5(B−45). \begin{aligned} B&=2(G-15),\\ G-15&=5(B-45). \end{aligned} Al sustituir la primera en la segunda se obtiene G−15=5(2(G−15)−45)=10G−375. \begin{aligned} G-15 &=5\bigl(2(G-15)-45\bigr)\\ &=10G-375. \end{aligned} Por consiguiente, 9G=360,9G=360, así que G=40.G=40.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let the original counts be GG girls and BB boys. The two conditions give B=2(G−15),G−15=5(B−45). \begin{aligned} B&=2(G-15),\\ G-15&=5(B-45). \end{aligned} Substituting the first into the second yields G−15=5(2(G−15)−45)=10G−375. \begin{aligned} G-15 &=5\bigl(2(G-15)-45\bigr)\\ &=10G-375. \end{aligned} Hence 9G=360,9G=360, so G=40.G=40.
Thus, the correct answer is A.

31.

John pidió 44 pares de calcetines negros y algunos pares adicionales de calcetines azules. El precio por par de los calcetines negros era el doble del de los azules. Al preparar el pedido, se descubrió que se habían intercambiado las cantidades de pares de los dos colores. Esto aumentó la cuenta en 50%.50\%. La razón entre el número de pares negros y el número de pares azules del pedido original era:
John ordered 44 pairs of black socks and some additional pairs of blue socks. The price of the black socks per pair was twice that of the blue. When the order was filled, it was found that the number of pairs of the two colors had been interchanged. This increased the bill by 50%.50\%. The ratio of the number of pairs of black socks to the number of pairs of blue socks in the original order was:
4:14:1
2:12:1
1:41:4
1:21:2
1:81:8
Conceptos:dinerorazón y proporciónecuación lineal
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Sea pp el precio de un par azul y nn el número original de pares azules
Let a blue pair cost pp and let nn be the original number of blue pairs
Pista grande:
Compara la cuenta original (8+n)p(8+n)p con la cuenta intercambiada (2n+4)p(2n+4)p
Compare the original bill (8+n)p(8+n)p with the interchanged bill (2n+4)p(2n+4)p
Solución:
Sea pp el precio de un par azul, de modo que un par negro cuesta 2p,2p, y sea nn el número original de pares azules. La cuenta original es (8+n)p.(8+n)p. Después de intercambiar las cantidades, la cuenta es (2n+4)p.(2n+4)p. Esta última es 50%50\% mayor, así que 2n+4=32(n+8). 2n+4=\frac32(n+8). De aquí, n=16,n=16, y la razón original entre pares negros y azules es 4:16=1:4.4:16=1:4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let a blue pair cost p,p, so a black pair costs 2p,2p, and let nn be the original number of blue pairs. The original bill is (8+n)p.(8+n)p. After the quantities are interchanged, the bill is (2n+4)p.(2n+4)p. The latter is 50%50\% greater, so 2n+4=32(n+8). 2n+4=\frac32(n+8). Thus n=16,n=16, and the original black-to-blue ratio is 4:16=1:4.4:16=1:4.
Thus, the correct answer is C.

32.

Una escalera de 2525 pies se apoya contra la pared vertical de un edificio. El pie de la escalera está a 77 pies de la base del edificio. Si la parte superior de la escalera se desliza 44 pies, entonces el pie de la escalera se deslizará:
A 2525 foot ladder is placed against a vertical wall of a building. The foot of the ladder is 77 feet from the base of the building. If the top of the ladder slips 44 feet, then the foot of the ladder will slide:
99 pies
99 ft
1515 pies
1515 ft
55 pies
55 ft
88 pies
88 ft
44 pies
44 ft
Conceptos:Teorema de Pitágorastriángulo rectángulo
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Halla la altura original de la escalera en la pared mediante un triángulo rectángulo
Find the ladder’s original height on the wall using a right triangle
Pista grande:
Después de que la parte superior se desliza, la nueva altura es 44 pies menor y la hipotenusa sigue midiendo 2525
After the top slips, the new height is 44 feet less while the hypotenuse stays 2525
Solución:
La altura inicial, en pies, es 252−72=576=24. \sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24. Después de que la parte superior se desliza, la altura es 2020 pies, de modo que la nueva distancia horizontal es 252−202=15\sqrt{25^2-20^2}=15 pies. Por consiguiente, el pie se desliza 15−7=815-7=8 pies.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The initial height, in feet, is 252−72=576=24. \sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24. After the top slips, the height is 2020 feet, so the new horizontal distance is 252−202=15\sqrt{25^2-20^2}=15 feet. The foot therefore slides 15−7=815-7=8 feet.
Thus, the correct answer is D.

33.

El número de tubos circulares de diámetro interior 11 pulgada que transportarán la misma cantidad de agua que un tubo de diámetro interior 66 pulgadas es:
The number of circular pipes with an inside diameter of 11 inch which will carry the same amount of water as a pipe with an inside diameter of 66 inches is:
6π6\pi
66
1212
3636
36π36\pi
Conceptos:área del círculoescalamiento de potencias de longitud, área y volumen
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
La capacidad de transportar agua es proporcional al área de la sección transversal
Water-carrying capacity is proportional to cross-sectional area
Pista grande:
El área circular es proporcional al cuadrado del diámetro
Circular area scales as the square of the diameter
Solución:
La razón de los diámetros es 6:1,6:1, por lo que la razón de las áreas transversales es 62:12=36:1. 6^2:1^2=36:1. Así, 3636 de los tubos pequeños tienen la misma área transversal total que el tubo grande.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The ratio of the diameters is 6:1,6:1, so the ratio of cross-sectional areas is 62:12=36:1. 6^2:1^2=36:1. Thus 3636 of the smaller pipes have the same total cross-sectional area as the larger pipe.
Thus, the correct answer is D.

34.

Cuando la circunferencia de un globo de juguete aumenta de 2020 pulgadas a 2525 pulgadas, el radio aumenta en:
When the circumference of a toy balloon is increased from 2020 inches to 2525 inches, the radius is increased by:
55 pulgadas
55 in
2122\dfrac12 pulgadas
2122\dfrac12 in
5π\dfrac5\pi pulgadas
5π\dfrac5\pi in
52π\dfrac{5}{2\pi} pulgadas
52π\dfrac{5}{2\pi} in
π5\dfrac{\pi}{5} pulgadas
π5\dfrac{\pi}{5} in
Conceptos:circunferenciamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Usa C=2πrC=2\pi r para cada circunferencia
Use C=2πrC=2\pi r for each circumference
Pista grande:
El cambio de la circunferencia es 2π2\pi veces el cambio del radio
The change in circumference is 2π2\pi times the change in radius
Solución:
Como C=2πr,C=2\pi r, los cambios satisfacen 25−20=2π(rnew−rold). 25-20=2\pi\mathopen{}\left(r_{\mathrm{new}}-r_{\mathrm{old}}\right)\mathclose{}. Así, el radio aumenta 52π\dfrac{5}{2\pi} pulgadas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Because C=2πr,C=2\pi r, the changes satisfy 25−20=2π(rnew−rold). 25-20=2\pi\mathopen{}\left(r_{\mathrm{new}}-r_{\mathrm{old}}\right)\mathclose{}. Hence the radius increases by 52π\dfrac{5}{2\pi} inches.
Thus, the correct answer is D.

35.

En el triángulo ABC,ABC, AC=24AC=24 pulgadas, BC=10BC=10 pulgadas y AB=26AB=26 pulgadas. El radio del círculo inscrito es:
In triangle ABC,ABC, AC=24AC=24 inches, BC=10BC=10 inches, AB=26AB=26 inches. The radius of the inscribed circle is:
2626 pulgadas
2626 in
44 pulgadas
44 in
1313 pulgadas
1313 in
88 pulgadas
88 in
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:triángulo rectángulocircunferencia inscrita, incentro e inradioTerna pitagórica
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Las longitudes de los lados forman un triángulo rectángulo
The side lengths form a right triangle
Pista grande:
Para un triángulo rectángulo con catetos a,ba,b e hipotenusa c,c, el inradio es a+b−c2\frac{a+b-c}{2}
For a right triangle with legs a,ba,b and hypotenuse c,c, the inradius is a+b−c2\frac{a+b-c}{2}
Solución:
Como 102+242=262,10^2+24^2=26^2, el triángulo es rectángulo. Su área es 12(10)(24)=120,\tfrac12(10)(24)=120, y su semiperímetro es 10+24+262=30.\tfrac{10+24+26}{2}=30. Usando K=rs,K=rs, el inradio, en pulgadas, es r=Ks=12030=4. r=\frac{K}{s}=\frac{120}{30}=4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since 102+242=262,10^2+24^2=26^2, the triangle is right. Its area is 12(10)(24)=120,\tfrac12(10)(24)=120, and its semiperimeter is 10+24+262=30.\tfrac{10+24+26}{2}=30. Using K=rs,K=rs, the inradius, in inches, is r=Ks=12030=4. r=\frac{K}{s}=\frac{120}{30}=4.
Thus, the correct answer is B.

36.

Un comerciante compra mercancía con un descuento de 25%25\% sobre el precio de lista. Desea fijar un precio marcado que le permita aplicar un descuento de 20%20\% y aun obtener una ganancia de 25%25\% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de lista debe marcar en la mercancía?
A merchant buys goods at 25%25\% off the list price. He desires to mark the goods so that he can give a discount of 20%20\% on the marked price and still clear a profit of 25%25\% on the selling price. What per cent of the list price must he mark the goods?
125%125\%
100%100\%
120%120\%
80%80\%
75%75\%
Conceptos:porcentajedineroecuación lineal
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Toma el precio de lista como LL y el precio marcado como MM
Take the list price to be LL and the marked price to be MM
Pista grande:
El costo es 0.75L,0.75L, el precio de venta es 0.8M,0.8M, y el costo es 75%75\% del precio de venta
The cost is 0.75L,0.75L, the selling price is 0.8M,0.8M, and the cost is 75%75\% of the selling price
Solución:
Sean LL y MM los precios de lista y marcado. El costo del comerciante es 0.75L,0.75L, mientras que el precio de venta después del descuento es 0.8M.0.8M. Una ganancia igual al 25%25\% del precio de venta significa que el costo es el 75%75\% restante de ese precio. Por lo tanto, 0.75L=0.75(0.8M)=0.6M. 0.75L=0.75(0.8M)=0.6M. Así, M=1.25L,M=1.25L, o 125%125\% del precio de lista.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let the list and marked prices be LL and M.M. The merchant’s cost is 0.75L,0.75L, while the selling price after the discount is 0.8M.0.8M. A profit equal to 25%25\% of the selling price means that the cost is the remaining 75%75\% of that price. Therefore 0.75L=0.75(0.8M)=0.6M. 0.75L=0.75(0.8M)=0.6M. Thus M=1.25L,M=1.25L, or 125%125\% of the list price.
Thus, the correct answer is A.

37.

Si y=log⁡ax,y=\log_a x, a>1,a>1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?
If y=log⁡ax,y=\log_a x, a>1,a>1, which of the following statements is incorrect?
Si x=1,x=1, entonces y=0y=0
If x=1,x=1, y=0y=0
Si x=a,x=a, entonces y=1y=1
If x=a,x=a, y=1y=1
Si x=−1,x=-1, entonces yy es imaginario (complejo)
If x=−1,x=-1, yy is imaginary (complex)
Si 0<x<1,0\lt x\lt1, entonces yy siempre es menor que 00 y decrece sin límite cuando xx se aproxima a cero
If 0<x<1,0\lt x\lt1, yy is always less than 00 and decreases without limit as xx approaches zero
Solo algunas de las afirmaciones anteriores son correctas
Only some of the above statements are correct
Conceptos:logaritmofunciónnúmero complejo
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:
Comprueba directamente las opciones A y B mediante la definición de logaritmo
Check choices A and B directly from the definition of a logarithm
Pista grande:
Para a>1,a>1, el logaritmo real es creciente y tiende a −∞-\infty cuando xx se aproxima a 00 por la derecha
For a>1,a>1, the real logarithm is increasing and tends to −∞-\infty as xx approaches 00 from the right
Solución:
Tenemos log⁡a1=0\log_a1=0 y log⁡aa=1.\log_aa=1. Un logaritmo real no está definido en −1,-1, aunque sus valores complejos no son reales. Para a>1,a>1, se cumple log⁡ax<0\log_a x<0 en 0<x<1,0<x<1, y tiende a −∞-\infty cuando xx se aproxima a 00 por la derecha. Así, las afirmaciones A a D son todas correctas, de modo que la afirmación de que solo algunas son correctas es la incorrecta.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
We have log⁡a1=0\log_a1=0 and log⁡aa=1.\log_aa=1. A real logarithm is not defined at −1,-1, though its complex values are nonreal. For a>1,a>1, log⁡ax<0\log_a x<0 on 0<x<1,0<x<1, and it tends to −∞-\infty as xx approaches 00 from the right. Thus statements A through D are all correct, making the claim that only some are correct the incorrect statement.
Thus, the correct answer is E.

38.

Si la expresión ∣acdb∣ \begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix} tiene el valor ab−cdab-cd para todos los valores de a,a, b,b, c,c, y d,d, entonces la ecuación ∣2x1xx∣=3 \begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3
If the expression ∣acdb∣ \begin{vmatrix}a&c\\d&b\end{vmatrix} has the value ab−cdab-cd for all values of a,a, b,b, c,c, and d,d, then the equation ∣2x1xx∣=3 \begin{vmatrix}2x&1\\x&x\end{vmatrix}=3
Se satisface para solo 11 valor de xx
Is satisfied for only 11 value of xx
Se satisface para 22 valores de xx
Is satisfied for 22 values of xx
No se satisface para ningún valor de xx
Is satisfied for no values of xx
Se satisface para una cantidad infinita de valores de xx
Is satisfied for an infinite number of values of xx
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:determinantecuadrática
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Aplica la regla dada para convertir el determinante en una ecuación cuadrática
Apply the given rule to turn the determinant into a quadratic equation
Pista grande:
La ecuación es 2x2−x=32x^2-x=3
The equation is 2x2−x=32x^2-x=3
Solución:
La regla dada convierte la ecuación en (2x)(x)−(1)(x)=3, (2x)(x)-(1)(x)=3, o 2x2−x−3=0.2x^2-x-3=0. Al factorizar se obtiene (2x−3)(x+1)=0,(2x-3)(x+1)=0, cuyas dos soluciones distintas son x=32x=\tfrac32 y x=−1.x=-1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The given rule turns the equation into (2x)(x)−(1)(x)=3, (2x)(x)-(1)(x)=3, or 2x2−x−3=0.2x^2-x-3=0. Factoring gives (2x−3)(x+1)=0,(2x-3)(x+1)=0, whose two distinct solutions are x=32x=\tfrac32 and x=−1.x=-1.
Thus, the correct answer is B.

39.

Dada la serie 2+1+12+14+⋯2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots y las siguientes cinco afirmaciones:
(1)(1) la suma aumenta sin límite.
(2)(2) la suma disminuye sin límite.
(3)(3) la diferencia entre cualquier término de la sucesión y cero puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.
(4)(4) la diferencia entre la suma y 44 puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.
(5)(5) la suma se aproxima a un límite.
De estas afirmaciones, las correctas son:
Given the series 2+1+12+14+⋯2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots and the following five statements:
(1)(1) the sum increases without limit.
(2)(2) the sum decreases without limit.
(3)(3) the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.
(4)(4) the difference between the sum and 44 can be made less than any positive quantity no matter how small.
(5)(5) the sum approaches a limit.
Of these statements, the correct ones are:
Solo 33 y 44
Only 33 and 44
Solo 55
Only 55
Solo 22 y 44
Only 22 and 44
Solo 2,2, 3,3, y 44
Only 2,2, 3,3, and 44
Solo 44 y 55
Only 44 and 55
Conceptos:sucesión geométricasumatoriacálculo
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Distingue los términos de la sucesión de sus sumas parciales
Distinguish the terms of the sequence from its partial sums
Pista grande:
Una serie geométrica con primer término 22 y razón 12\frac{1}{2} tiene sumas parciales que se aproximan a 44
A geometric series with first term 22 and ratio 12\frac{1}{2} has partial sums approaching 44
Solución:
Las sumas parciales aumentan hacia 21−12=4, \frac{2}{1-\frac12}=4, por lo que no aumentan ni disminuyen sin límite. Esto hace falsas las afirmaciones 11 y 22, mientras que las afirmaciones 44 y 55 son verdaderas.
En la afirmación 3,3, «cualquier término» se refiere a un término ya elegido, cuya distancia a cero es fija y no puede reducirse; lo que sí puede hacerse es elegir un término suficientemente avanzado que esté por debajo de cualquier cota positiva dada. Por lo tanto, la afirmación 33, tal como está redactada, es falsa.
Por consiguiente, solo las afirmaciones 44 y 55 son correctas, así que la respuesta correcta es E.
The partial sums increase toward 21−12=4, \frac{2}{1-\frac12}=4, so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements 11 and 22 false, while statements 44 and 55 are true.
In statement 3,3, “any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement 33, as worded, is false.
Therefore only statements 44 and 55 are correct, so the correct answer is E.

40.

El límite de x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} cuando xx se aproxima a 11 es:
The limit of x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} as xx approaches 11 as a limit is:
00
Indeterminado
Indeterminate
x−1x-1
22
11
Conceptos:cálculodiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Factoriza el numerador como una diferencia de cuadrados
Factor the numerator as a difference of squares
Pista grande:
Para x≠1,x\ne1, cancela el factor común x−1x-1
For x≠1,x\ne1, cancel the common factor x−1x-1
Solución:
Para x≠1,x\ne1, x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1=x+1. \begin{aligned} \frac{x^2-1}{x-1} &=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=x+1. \end{aligned} Por consiguiente, el límite cuando xx se aproxima a 11 es 1+1=2.1+1=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For x≠1,x\ne1, x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1=x+1. \begin{aligned} \frac{x^2-1}{x-1} &=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=x+1. \end{aligned} Therefore the limit as xx approaches 11 is 1+1=2.1+1=2.
Thus, the correct answer is D.

41.

El valor mínimo de la función ax2+bx+cax^2+bx+c, con a>0,a>0, es:
The least value of the function ax2+bx+cax^2+bx+c with a>0a>0 is:
−ba-\dfrac ba
−b2a-\dfrac{b}{2a}
b2−4acb^2-4ac
4ac−b24a\dfrac{4ac-b^2}{4a}
Ninguno de estos
None of these
Conceptos:completar el cuadradocuadráticaoptimización
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Completa el cuadrado en ax2+bx+cax^2+bx+c
Complete the square in ax2+bx+cax^2+bx+c
Pista grande:
Como a>0,a>0, el término cuadrado alcanza su mínimo cuando es igual a cero
Since a>0,a>0, the squared term is minimized when it equals zero
Solución:
Al completar el cuadrado se obtiene ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a. \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned} Como a>0,a>0, el término cuadrado tiene mínimo 0.0. Así, el valor mínimo es c−b24a=4ac−b24a. c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Completing the square gives ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a. \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned} Because a>0,a>0, the squared term has minimum 0.0. The least value is therefore c−b24a=4ac−b24a. c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.
Thus, the correct answer is D.

42.

La ecuación xxx⋅⋅⋅=2x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2 se satisface cuando xx es igual a:
The equation xxx⋅⋅⋅=2x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2 is satisfied when xx is equal to:
Infinito
Infinity
22
24\sqrt[4]{2}
2\sqrt2
Ninguno de estos
None of these
Conceptos:exponenterecursión
Nivel de dificultad: 1830
Pista pequeña:
El exponente sobre el primer xx vuelve a ser toda la torre infinita
The exponent above the first xx is the entire infinite tower again
Pista grande:
Sustituye esa torre repetida por su valor dado 22
Replace that repeated tower by its given value 22
Solución:
Sea TT el valor de la torre infinita. Al quitar el xx inferior queda la misma torre como exponente, de modo que T=xT.T=x^T. Como T=2,T=2, obtenemos 2=x2. 2=x^2. Así, la base positiva es x=2,x=\sqrt2, para la cual la torre converge.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the value of the infinite tower be T.T. Removing its bottom xx leaves the same tower as the exponent, so T=xT.T=x^T. Since T=2,T=2, we obtain 2=x2. 2=x^2. The positive base is therefore x=2,x=\sqrt2, for which the tower is convergent.
Thus, the correct answer is D.

43.

La suma hasta el infinito de 17+272+173+274+⋯\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots es:
The sum to infinity of 17+272+173+274+⋯\dfrac17+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{2}{7^4}+\cdots is:
15\dfrac15
124\dfrac1{24}
548\dfrac5{48}
116\dfrac1{16}
Ninguna de estas
None of these
Conceptos:sucesión geométricasumatoria
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Agrupa la serie en pares de términos consecutivos
Group the series into consecutive pairs of terms
Pista grande:
Cada par es 149\frac{1}{49} veces el par anterior
Each pair is 149\frac{1}{49} times the preceding pair
Solución:
Al agrupar términos consecutivos se obtiene una serie geométrica cuyo primer término agrupado es 17+249=949 \frac17+\frac2{49}=\frac9{49} y cuya razón es 149.\tfrac1{49}. Por ello, la suma es 9491−149=948=316. \frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}. Este valor no aparece entre las opciones A a D.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Grouping consecutive terms gives a geometric series whose first grouped term is 17+249=949 \frac17+\frac2{49}=\frac9{49} and whose ratio is 149.\tfrac1{49}. Hence the sum is 9491−149=948=316. \frac{\frac9{49}}{1-\frac1{49}} =\frac9{48} =\frac3{16}. This is not among choices A through D.
Thus, the correct answer is E.

44.

La gráfica de y=log⁡xy=\log x
The graph of y=log⁡xy=\log x
Corta el eje yy
Cuts the yy-axis
Corta todas las rectas perpendiculares al eje xx
Cuts all lines perpendicular to the xx-axis
Corta el eje xx
Cuts the xx-axis
No corta ninguno de los dos ejes
Cuts neither axis
Corta todos los círculos con centro en el origen
Cuts all circles whose center is at the origin
Conceptos:logaritmofuncióngeometría analítica
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Halla dónde log⁡x=0\log x=0
Find where log⁡x=0\log x=0
Pista grande:
El logaritmo está definido solo para x>0x>0
The logarithm is defined only for x>0x>0
Solución:
Como log⁡1=0,\log1=0, la gráfica pasa por (1,0)(1,0) y, por eso, corta el eje xx. No puede cortar el eje yy porque x=0x=0 está fuera de su dominio.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since log⁡1=0,\log1=0, the graph passes through (1,0)(1,0) and therefore cuts the xx-axis. It cannot cut the yy-axis because x=0x=0 is outside its domain.
Thus, the correct answer is C.

45.

El número de diagonales que pueden trazarse en un polígono de 100100 lados es:
The number of diagonals that can be drawn in a polygon of 100100 sides is:
48504850
49504950
99009900
9898
88008800
Conceptos:diagonalcombinaciones
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Cada par de vértices determina un segmento
Every pair of vertices determines a segment
Pista grande:
Resta los 100100 lados de los (1002)\binom{100}{2} pares de vértices
Subtract the 100100 sides from the (1002)\binom{100}{2} vertex pairs
Solución:
Hay (1002)\binom{100}{2} segmentos que unen pares de vértices. Exactamente 100100 de ellos son lados, por lo que el número de diagonales es (1002)−100=4950−100=4850. \begin{aligned} \binom{100}{2}-100 &=4950-100\\ &=4850. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
There are (1002)\binom{100}{2} segments joining pairs of vertices. Exactly 100100 of these are sides, so the number of diagonals is (1002)−100=4950−100=4850. \begin{aligned} \binom{100}{2}-100 &=4950-100\\ &=4850. \end{aligned}
Thus, the correct answer is A.

46.

En el triángulo ABC,ABC, AB=12,AB=12, AC=7,AC=7, y BC=10.BC=10. Si se duplican los lados ABAB y ACAC mientras BCBC permanece igual, entonces:
In triangle ABC,ABC, AB=12,AB=12, AC=7,AC=7, and BC=10.BC=10. If sides ABAB and ACAC are doubled while BCBC remains the same, then:
El área se duplica
The area is doubled
La altura se duplica
The altitude is doubled
El área es cuatro veces el área original
The area is four times the original area
La mediana no cambia
The median is unchanged
El área del triángulo es 00
The area of the triangle is 00
Conceptos:desigualdad triangularárea
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Escribe las tres nuevas longitudes de los lados
Write down the three new side lengths
Pista grande:
Compara el mayor lado nuevo con la suma de los otros dos
Compare the largest new side with the sum of the other two
Solución:
Las nuevas longitudes de los lados son 24,24, 14,14, y 10.10. Como 14+10=24, 14+10=24, forman un triángulo degenerado: los tres vértices son colineales. En consecuencia, su área es 0.0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The new side lengths are 24,24, 14,14, and 10.10. Because 14+10=24, 14+10=24, they form a degenerate triangle: all three vertices are collinear. Its area is therefore 0.0.
Thus, the correct answer is E.

47.

Un rectángulo inscrito en un triángulo tiene su base coincidente con la base bb del triángulo. Si la altura del triángulo es h,h, y la altura xx del rectángulo es la mitad de la base del rectángulo, entonces:
A rectangle inscribed in a triangle has its base coinciding with the base bb of the triangle. If the altitude of the triangle is h,h, and the altitude xx of the rectangle is half the base of the rectangle, then:
x=12hx=\dfrac12h
x=bhb+hx=\dfrac{bh}{b+h}
x=bh2h+bx=\dfrac{bh}{2h+b}
x=hb2x=\sqrt{\dfrac{hb}{2}}
x=12bx=\dfrac12b
Conceptos:semejanzarectánguloaltura
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
El segmento transversal del triángulo a la altura xx tiene longitud b(1−xh)b(1-\frac{x}{h})
The segment across the triangle at height xx has length b(1−xh)b(1-\frac{x}{h})
Pista grande:
La base del rectángulo es 2x2x
The rectangle’s base is 2x2x
Solución:
Por semejanza, el ancho del triángulo a la altura xx sobre su base es b(1−xh).b(1-\tfrac{x}{h}). Esta es la base del rectángulo inscrito. Como la altura del rectángulo es la mitad de su base, su base es 2x.2x. Por ello, 2x=b(1−xh). 2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right). Al multiplicar por hh y resolver se obtiene x(2h+b)=bh,x(2h+b)=bh, de modo que x=bh2h+b.x=\dfrac{bh}{2h+b}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
By similarity, the width of the triangle at height xx above its base is b(1−xh).b(1-\tfrac{x}{h}). This is the base of the inscribed rectangle. Since the rectangle’s altitude is half its base, its base is 2x.2x. Hence 2x=b(1−xh). 2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right). Multiplying by hh and solving gives x(2h+b)=bh,x(2h+b)=bh, so x=bh2h+b.x=\dfrac{bh}{2h+b}.
Thus, the correct answer is C.

48.

Se elige al azar un punto dentro de un triángulo equilátero. Desde este punto se trazan perpendiculares a cada lado. La suma de estas perpendiculares es:
A point is selected at random inside an equilateral triangle. From this point perpendiculars are dropped to each side. The sum of these perpendiculars is:
Mínima cuando el punto es el centro de gravedad del triángulo
Least when the point is the center of gravity of the triangle
Mayor que la altura del triángulo
Greater than the altitude of the triangle
Igual a la altura del triángulo
Equal to the altitude of the triangle
La mitad de la suma de los lados del triángulo
One-half the sum of the sides of the triangle
Máxima cuando el punto es el centro de gravedad
Greatest when the point is the center of gravity
Conceptos:Teorema de Vivianitriángulo equiláterodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:
Une el punto interior con los tres vértices
Join the interior point to all three vertices
Pista grande:
Suma las áreas de los tres triángulos pequeños usando la longitud común de los lados como bases
Add the areas of the three smaller triangles using the common side length as their bases
Solución:
Sea ss la longitud del lado del triángulo equilátero y hh su altura, y sean d1,d2,d3d_1,d_2,d_3 las tres distancias perpendiculares. Al dividir el triángulo mediante el punto interior se obtiene 12s(d1+d2+d3)=12sh. \frac12s(d_1+d_2+d_3)=\frac12sh. Así, d1+d2+d3=h,d_1+d_2+d_3=h, independientemente del punto elegido.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let the equilateral triangle have side length ss and altitude h,h, and let the three perpendicular distances be d1,d2,d3.d_1,d_2,d_3. Splitting the triangle at the interior point gives 12s(d1+d2+d3)=12sh. \frac12s(d_1+d_2+d_3)=\frac12sh. Therefore d1+d2+d3=h,d_1+d_2+d_3=h, independent of the selected point.
Thus, the correct answer is C.

49.

Un triángulo tiene una base fija ABAB de 22 pulgadas. La mediana desde AA hasta el lado BCBC mide 1121\dfrac12 pulgadas y puede ocupar cualquier posición que parta de A.A. El lugar geométrico del vértice CC del triángulo es:
A triangle has a fixed base ABAB that is 22 inches long. The median from AA to side BCBC is 1121\dfrac12 inches long and can have any position emanating from A.A. The locus of the vertex CC of the triangle is:
La recta AB,AB, a 1121\dfrac12 pulgadas de AA
A straight line AB,AB, 1121\dfrac12 inches from AA
Un círculo con centro AA y radio 22 pulgadas
A circle with AA as center and radius 22 inches
Un círculo con centro AA y radio 33 pulgadas
A circle with AA as center and radius 33 inches
Un círculo de radio 33 pulgadas cuyo centro está a 44 pulgadas de BB a lo largo de BABA
A circle with radius 33 inches and center 44 inches from BB along BABA
Una elipse con foco AA
An ellipse with AA as focus
Conceptos:mediana (geometría)círculotransformación
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:
Sea MM el punto medio de BCBC; entonces MM se mueve sobre un círculo con centro en AA
Let MM be the midpoint of BCBC; then MM moves on a circle centered at AA
Pista grande:
En forma vectorial, la relación del punto medio da C⃗=2M⃗−B⃗\vec C=2\vec M-\vec B cuando AA es el origen
In vector form, the midpoint relation gives C⃗=2M⃗−B⃗\vec C=2\vec M-\vec B when AA is the origin
Solución:
Coloca AA en el origen y considera B,B, C,C, y el punto medio MM de BCBC como vectores. Como AM=32,AM=\tfrac32, el punto MM se mueve sobre un círculo de radio 32\tfrac32 con centro en A.A. La relación del punto medio da C=2M−B. C=2M-B. Por lo tanto, el lugar geométrico de CC es la imagen de ese círculo bajo una dilatación de factor 22 seguida de una traslación por −B.-B. Es un círculo de radio 33 con centro en −B.-B.
Como AB=2,AB=2, el punto −B-B está a 44 pulgadas de BB a lo largo del rayo BA.BA. Por ello, la respuesta correcta es D.
Put AA at the origin and regard B,B, C,C, and the midpoint MM of BCBC as vectors. Since AM=32,AM=\tfrac32, the point MM moves on a circle of radius 32\tfrac32 centered at A.A. The midpoint relation gives C=2M−B. C=2M-B. Thus the locus of CC is the image of that circle under a dilation by 22 followed by translation by −B.-B. It is a circle of radius 33 centered at −B.-B.
Because AB=2,AB=2, the point −B-B is 44 inches from BB along the ray BA.BA. Hence the correct answer is D.

50.

Un corsario descubre un buque mercante a 1010 millas a sotavento a las 11:4511{:}45 a. m. y, con una buena brisa, se abalanza sobre él a 1111 millas por hora, mientras el mercante solo puede alcanzar 88 millas por hora en su intento de escapar. Después de una persecución de dos horas, la vela de gavia del corsario se pierde: ahora solo puede recorrer 1717 millas mientras el mercante recorre 15.15. El corsario alcanzará al mercante a las:
A privateer discovers a merchantman 1010 miles to leeward at 11:4511{:}45 a.m. and with a good breeze bears down upon her at 1111 mph, while the merchantman can only make 88 mph in her attempt to escape. After a two hour chase, the top sail of the privateer is carried away: she can now make only 1717 miles while the merchantman makes 15.15. The privateer will overtake the merchantman at:
3:453{:}45 p. m.
3:303{:}30 p. m.
5:005{:}00 p. m.
2:452{:}45 p. m.
5:305{:}30 p. m.
Conceptos:distancia, velocidad y tiempovelocidad relativarazón y proporción
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Halla la distancia restante después de las primeras dos horas
Find the remaining gap after the first two hours
Pista grande:
Después de perder la vela, la razón de velocidades es 17:1517:15, mientras el mercante sigue viajando a 88 millas por hora
After the sail is lost, the speed ratio is 17:1517:15 while the merchantman still travels at 88 mph
Solución:
Durante las primeras dos horas, la cantidad de millas que gana el corsario es 2(11−8)=6, 2(11-8)=6, lo que reduce la distancia de 1010 millas a 44 millas a la 1:451{:}45 p. m.
Después de perder la vela, las velocidades de los barcos están en la razón 17:15.17:15. Como el mercante sigue viajando a 88 millas por hora, la nueva velocidad del corsario es 8⋅1715=136158\cdot\tfrac{17}{15}=\tfrac{136}{15} millas por hora. La velocidad de acercamiento es entonces 13615−8=1615\tfrac{136}{15}-8=\tfrac{16}{15} millas por hora, por lo que la cantidad de horas necesarias para cerrar la distancia restante es 41615=154=334. \frac{4}{\frac{16}{15}}=\frac{15}{4}=3\frac34. Al sumar 33 horas 4545 minutos a la 1:451{:}45 p. m. se obtiene 5:305{:}30 p. m.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
During the first two hours, the number of miles the privateer gains is 2(11−8)=6, 2(11-8)=6, reducing the gap from 1010 miles to 44 miles at 1:451{:}45 p.m.
After the damage, the ships’ speeds are in the ratio 17:15.17:15. Since the merchantman still travels at 88 mph, the privateer’s new speed is 8⋅1715=136158\cdot\tfrac{17}{15}=\tfrac{136}{15} mph. The closing speed is therefore 13615−8=1615\tfrac{136}{15}-8=\tfrac{16}{15} mph, so the number of hours needed to close the remaining gap is 41615=154=334. \frac{4}{\frac{16}{15}}=\frac{15}{4}=3\frac34. Adding 33 hours 4545 minutes to 1:451{:}45 p.m. gives 5:305{:}30 p.m.
Thus, the correct answer is E.
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