1965 AMC 12 Problema 40

Question

Sea

n

el número de valores enteros de

x

tales que

P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31

es el cuadrado de un entero. Entonces

n

es:

Let

n

be the number of integer values of

x

such that

P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31

is the square of an integer. Then

n

is:

4

3

2

1

0

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado perfecto polinomio acotación a casos límite enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Reescribe

P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)

Rewrite

P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)

Pista grande:

Dos cuadrados enteros distintos

U^2

y

V^2

difieren al menos en

2\max(|U|,|V|)-1

Distinct integer squares

U^2

and

V^2

differ by at least

2\max(|U|,|V|)-1

Solución:

Sea

N=x^2+3x+1.

Entonces

P=N^2-3(x-10).

Para

x=10,\ P=N^2=131^2,

así que un valor funciona.

Si

x\gt10

y

P=y^2,

entonces

N^2-y^2=3(x-10).

Dos cuadrados enteros distintos, uno de ellos

N^2

, difieren al menos en

2|N|-1,

que ya es mayor que

3(x-10),

una contradicción. Si

x\lt10,

la cota análoga

\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}

solo puede cumplirse para

-6\leq x\leq2.

La sustitución directa de estos nueve enteros no da ningún cuadrado. Por tanto,

x=10

es la única solución y

n=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

N=x^2+3x+1.

Then

P=N^2-3(x-10).

At

x=10,\ P=N^2=131^2,

so one value works.

If

x\gt10

and

P=y^2,

then

N^2-y^2=3(x-10).

Distinct integer squares differing from

N^2

differ by at least

2|N|-1,

which is already greater than

3(x-10),

a contradiction. If

x\lt10,

the analogous bound

\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}

can hold only for

-6\leq x\leq2.

Direct substitution for these nine integers gives no square. Hence

x=10

is the unique solution and

n=1.

Therefore, the correct answer is D.