1954 AMC 12 Problema 40

Question

Si

\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,

entonces

a^3+\dfrac1{a^3}

es igual a:

If

\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,

then

a^3+\dfrac1{a^3}

equals:

\dfrac{10\sqrt3}{3}

3\sqrt3

0

7\sqrt7

6\sqrt3

Sea

t=a+\frac{1}{a}

; entonces la condición dada es

t^2=3

Set

t=a+\frac{1}{a}

, so the given condition is

t^2=3

Usa

a^3+a^{-3}=t^3-3t

Use

a^3+a^{-3}=t^3-3t

Sea

t=a+\frac{1}{a}.

La identidad cúbica estándar da

a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).

Como

t^2=3,

esta expresión es

0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

t=a+\frac{1}{a}.

The standard cubic identity gives

a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).

Since

t^2=3,

this expression is

0.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 40 en otros años